使用提升算子计算量子谐振子的激发态研究（Matlab代码实现）

💥1 概述

简单量子谐振子的基态是高斯函数。提升算子由有限差分算子构成，当作用于基态波函数时，会产生激发态。最后，将三个激发能级与基态一起绘制出来。为了简化，省略了所有常数，如m、ω或h bar。

使用提升算子计算量子谐振子的激发态研究文档

一、引言

量子谐振子是量子力学中的一个基本模型，广泛应用于描述各种物理系统。在量子力学中，谐振子的基态和激发态是通过求解薛定谔方程得到的。而提升算子（raising operator）作为一种数学工具，可以方便地用于计算谐振子的激发态。本文旨在探讨如何使用提升算子来计算量子谐振子的激发态，并简要介绍其理论基础和应用。

二、理论基础

量子谐振子的哈密顿量

量子谐振子的哈密顿量可以表示为：

H=2mp2+21mω2x2

其中，p 是动量算符，m 是质量，ω 是角频率，x 是位置算符。

基态波函数

量子谐振子的基态波函数是高斯函数，形式为：

psi0(x)=(πℏmω)1/4exp(−2ℏmωx2)

提升算子

提升算子（raising operator）用于将谐振子的基态提升到激发态。在位置表象中，提升算子可以表示为：

a+=2mℏω1(−iℏdxd+mωx)

当提升算子作用于基态波函数时，会产生激发态波函数。

三、计算方法

定义基态波函数

首先，根据量子谐振子的基态波函数公式，定义基态波函数 ψ0(x)。

应用提升算子

然后，使用提升算子 a+ 作用于基态波函数 ψ0(x)，得到第一激发态波函数 ψ1(x)。重复此过程，可以得到更高阶的激发态波函数 ψ2(x)、ψ3(x) 等。

注意：由于提升算子是微分算符和位置算符的线性组合，因此在数值计算中需要使用有限差分法或谱方法来近似微分运算。

归一化激发态波函数

每次应用提升算子后，得到的激发态波函数可能不再归一化。因此，需要对激发态波函数进行归一化处理，以确保其满足量子力学中的归一化条件。

四、结果展示

将计算得到的基态和激发态波函数绘制在同一坐标系中，可以直观地展示它们的波形和概率密度分布。通常，基态波函数是一个中心对称的高斯分布，而激发态波函数则具有更多的节点和更复杂的波形。

五、结论与展望

通过使用提升算子，我们可以方便地计算量子谐振子的激发态波函数，并深入了解其物理性质。未来，可以进一步探索提升算子在其他量子系统中的应用，以及如何利用提升算子来研究量子态的演化、量子纠缠等前沿问题。

📚2 运行结果

部分代码：

neg_one=-1.*ones(N,1);pos_one=1.*ones(N,1);X=spdiags(x,N,N);DX=0.5.*(spdiags([neg_one pos_one ],[-1 1] ,N,N));aplus=2.^(-0.5).*(X-DX); % Griffiths, p. 54, Eq. 2.47%--- Using the raising operator to find excited states------------------%psi1=(aplus)*psi0'; % first excited statepsi1=psi1-mean(psi1); % normalizingpsi1=(psi1./max(psi1));psi2=aplus*psi1; % second excited statepsi2=psi2-mean(psi2); psi2=psi2./max(psi2);

🎉3 参考文献

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[1]王鹏,黄焱,任超,等.多尺度量子谐振子高维函数全局优化算法[J].电子学报, 2013, 41(12):2468-2473.DOI:10.3969/j.issn.0372-2112.2013.12.023.

[2]王鹏,黄焱,任超,等.多尺度量子谐振子高维函数全局优化算法[J].电子学报, 2013, 41(12):6.DOI:CNKI:SUN:DZXU.0.2013-12-023.

🌈4 Matlab代码实现

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