38、量子力学中的算子与对易子

量子力学中的算子与对易子

1. 为何是厄米算子

在希尔伯特空间中，设 $\alpha$ 和 $\beta$ 为向量。算子 $\hat{A}$ 的厄米伴随 $\hat{A}^{\dagger}$ 定义为：
$\langle\hat{A}^{\dagger}\alpha|\beta\rangle = \langle\alpha|\hat{A}\beta\rangle$，对于所有的 $\alpha$ 和 $\beta$ 都成立。

在一维情况下，记法最为简单：
$\int dx (\hat{A}^{\dagger}\alpha)^ \beta = \int dx \alpha^ \hat{A}\beta$
对两边取复共轭可得：
$(\int dx \alpha^ \hat{A}\beta)^ = \int dx \beta^ \hat{A}^{\dagger}\alpha$
这暗示了取任意矩阵元复共轭的一般规则：
$\langle\alpha|\hat{A}|\beta\rangle^ = \langle\beta|\hat{A}^{\dagger}|\alpha\rangle$，对于所有的 $\alpha$ 和 $\beta$ 都成立。

自伴或厄米算子 $\hat{Q}$ 具有特殊重要性，厄米算子满足 $\hat{Q}^{\dagger} = \hat{Q}$，因此所有厄米算子都有 $\langle\Phi|\hat{Q}\Psi\rangle = \langle\hat{Q}\Phi|\Psi\rangle$ 的性质。若在前面的式子中令 $\alpha = \