15、量子力学的机制

量子力学的机制

量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观世界的物理现象。薛定谔的量子力学依赖于求解微分方程来描述系统的物理性质，而海森堡同时期发展了基于矩阵代数的数学形式，狄拉克则用线性向量空间统一了这两种方法。下面将深入探讨量子力学中的抽象向量空间、向量的表示方法以及各种算子的性质。

1. 抽象向量空间

三维笛卡尔欧几里得空间是抽象向量空间的一个特例。在欧几里得空间中，任何三维向量 $\alpha$ 都可以写成其分量的和：
$\alpha = \alpha_x\hat{\imath} + \alpha_y \hat{\jmath} + \alpha_z \hat{k}$
其中，单位向量 $\hat{\imath}$、$\hat{\jmath}$、$\hat{k}$ 分别指向 $x$、$y$ 和 $z$ 方向。这些单位向量构成了一个正交归一基集，因为 $e_n·e_m = \delta_{nm}$，这里的 $e_n$ 和 $e_m$ 代表 $\hat{\imath}$、$\hat{\jmath}$ 和 $\hat{k}$ 中的任意一个。向量 $\alpha$ 的分量可以通过点积计算：
$\alpha_x = \alpha · \hat{\imath}$
$\alpha_y = \alpha · \hat{\jmath}$
$\alpha_z = \alpha · \hat{k}$
点积是内积的一个特殊情况，内积适用于任何向量空间。如果两个向量正交，它们的内积为零。

需要注意的是，$\hat{\imath}$、$\hat{\jmath}$、$\hat{k}$ 并不构成唯一的正交归一基集。例如，以下三个单位向量：