35、一维粒子的量子特性解析

一维粒子的量子特性解析

1. 自由粒子与连续态相关基础概念

在量子力学中，关于波函数 $\psi_n(x)$ 有几个重要的特性需要关注：
- 平均动量 ：$\psi_n(x)$ 是相反动量平面波的和，其平均动量 $\langle p\rangle = \langle\psi_n(x)|p|\psi_n(x)\rangle = \int_{0}^{a} \psi_n(x)(-i\hbar) \frac{d}{dx} \psi_n(x)dx$，虽然该表达式看起来是虚数，但实际上 $\langle p\rangle = 0$，因为 $\frac{1}{2} \int_{0}^{a} dx \frac{d}{dx} \psi_n(x)^2 = 0$。
- 本征函数性质 ：对于阱内的 $x$，$\psi_n(x)$ 是 $p^2$ 的本征函数，这一性质适用于任何束缚态。
- 正交归一性 ：${\psi_n(x)}$ 是区间 $(0, a)$ 内的完备正交归一集合，这与傅里叶级数理论相关。

2. 德布罗意波的归一化

德布罗意波 $\psi_k(x, t) = \frac{\exp[i(kx - \omega(k)t)]}{\sqrt{2\pi}}$ 代表着处于完美单色、准直束中的粒子。其归一化方法与束缚态不同，因为 $\psi_k(x, t)$ 不属于 $L^2$（平方可积函数），所以我们通过 $\delta$ 函数进行归一化：
$\int_{-\infty}^{\infty} dx \psi_k(x, t)^* \psi_{k’}(x