34、量子力学中的关键理论与一维粒子问题解析

量子力学中的关键理论与一维粒子问题解析

1. 薛定谔方程与演化算符

薛定谔方程是量子力学的核心，在不考虑自旋的情况下，它适用于电子。同时，它也是量子力学相对论扩展（如克莱因 - 戈登、狄拉克、普罗卡方程）的起点。

2. 埃伦费斯特定理

从经典力学到量子力学的转变并非显而易见，正确的解释需要深思熟虑。由于薛定谔方程中存在哈密顿量，新理论与经典力学相关。埃伦费斯特定理使这种关系更加明确，对于任意算符 $\hat{A}$，有：
$$\frac{d\hat{A}}{dt} = \left\langle\frac{\partial\hat{A}}{\partial t} + \frac{[\hat{A}, \hat{H}]}{i\hbar}\right\rangle$$
该定理表明，任何可观测物理量平均值的演化与经典演化相同，只是力取平均值。这里的力与经典力不同，因为力依赖于位置，而量子力学中位置并不精确。我们得到的是波而非熟悉的轨迹，但量子演化的平均值能让我们找回经典演化的某些特征。

3. 定态方程及其预解式

3.1 定态方程

具有确定能量 $E$ 的态 $\psi(x, t)$ 是能量算符 $\hat{E}$ 的本征态，即：
$$\hat{E}\psi(x, t) = E\psi(x, t)$$
其时间依赖通过相位因子 $e^{-iEt/\hbar}$ 体现，即 $\psi(x, t) = \psi(x, 0)e^{-iEt/\hbar}$。定态是以下方程的解：
$$\left[\frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x}, t)\right]\