40、量子力学中的关键原理与概念解析

量子力学中的关键原理与概念解析

1. 旋转操作与群论方法

在量子力学的研究中，旋转操作有着重要的地位。旋转操作对应着依次进行旋转，每个操作都有其逆操作。符号 O(3) 表示这些旋转是在三维空间中进行的，并且可以用正交矩阵来表示。群论方法在高级量子力学中极为有用，它可用于分子和固态理论中电子态的分类、基本粒子的分类以及许多其他高级问题的研究。任何旋转不变系统都具有 [H, $\vec{L}$ ]⁻ = 0 的性质，这意味着在这种情况下，角动量是守恒的，就如同在经典力学中一样（只不过这里是用对易子代替了泊松括号）。

2. 一般不确定性原理与相容可观测量

2.1 经典与量子测量对比

在经典力学中，对于给定系统（如分子）中某个物理量 A 的测量，我们可以得到一组测量结果，其平均值 $\langle A \rangle$ 就是期望值，还有标准偏差 $\sigma_A$ ，它反映了平均值的不确定性。而在量子力学中，系统由波函数 $\psi$ 描述，实验结果可以用平均值 $\langle \hat{A} \rangle \equiv \langle \psi | \hat{A} \psi \rangle$ 和标准偏差 $\sigma_A = \sqrt{\langle [A - \langle A \rangle]^2 \rangle}$ 来概括。

2.2 不确定性原理不等式

量子力学的一个新奇之处在于，包含所有信息的波函数的存在使得不同可观测量的测量之间存在相互依赖关系。两个可观测量 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 同时测量的精度受到不等式 $\sigma_A^2 \sigma_B^2 \geq (\frac