25、三维量子力学中的角动量与中心势问题解析

三维量子力学中的角动量与中心势问题解析

1. 三维量子力学中的角动量回顾

初涉量子力学的学习者，需明确量子物理里的角动量与经典力学中的定义有别。量子物理中的角动量算符（可观测量），其各分量的对易子需满足特定准则，除轨道角动量外，多数角动量算符并无经典对应。

1.1 角动量算符相关问题

以下是一系列与角动量算符相关的问题：
1. 求 $[\hat{J} x \hat{J}_y, \hat{J}_z]$。
2. 证明 $[\hat{J} {\pm}, \hat{J} z] = \mp\hbar\hat{J} {\pm}$。
3. 证明 $\hat{J} +\hat{J} - = \hat{J}^2 - \hat{J} z^2 + \hbar\hat{J}_z$。
4. 证明 $\hat{J} \times \hat{J} = i\hbar\hat{J}$，此在经典力学中无意义，但在量子力学里合理。
5. 求 $\hat{J}_x$ 和 $\hat{J}_x^2$ 在 $\hat{J}^2$ 和 $\hat{J}_z$ 本征态下的期望值。
6. 求 $\hat{J}_x$、$\hat{J}_y$ 和 $\hat{J}_z$ 在 $\hat{J}^2$ 和 $\hat{J}_z$ 本征态下的不确定度，并验证其与角动量基本对易规则及不确定原理的一致性。
7. 验证方程 8.46 给出的恒等式。
8. 证明 $[\hat{J}, \hat{T}^2] = 0$，计算一个分量即可。
9. 证明球坐标中 $r$ 方向的单位向量可