27、引力相关知识：从坐标距离到黑洞与行星轨道

引力相关知识：从坐标距离到黑洞与行星轨道

在引力的研究领域，诸多现象和理论引人深思。我们将从坐标距离的探讨开始，逐步深入到黑洞相关的坐标变换、永恒黑洞的特性，最后探究行星轨道的进动问题。

1. 坐标距离与相对论效应

在引力场中，坐标距离的计算会受到相对论效应的显著影响。我们考虑一个观察者位于 (r_2 = 5r_S)（(r_S) 为某个特征长度）处，而其同伴位于 (r_1) 处。在忽略相对论效应时，两者之间的距离应呈线性增加，并且当同伴接近视界时，距离会趋近于 (4r_S)。然而，实际的相对论距离并非如此，它由图中的上曲线表示，与线性增加的趋势有明显差异。这表明在强引力场中，相对论效应不能被忽视，它会改变我们对距离的常规认知。

2. Kruskal 和 Szekeres 坐标变换

经典的度规在视界处会失效，但实际上在视界处并没有物理奇点。Martin Kruskal 和 György Szekeres 发现的坐标变换 ((r, t) \to (u, v)) 可以将度规的有效性扩展到除中心点质量外的所有时空。

在 (u - v) 平面中，由 (u = \pm v) 两条线将平面划分为四个区域：
- 区域 1 ：代表视界外的区域，包含正 (u) 轴。当 (r > r_S) 时，新坐标 (u) 和 (v) 的定义如下：
- (u = \sqrt{\frac{r}{r_S} - 1} \exp(\frac{r}{2r_S}) \cosh(\frac{ct}{2r_S}))
- (v = \sqrt{\frac{r}{r_S} - 1} \exp(\frac{r}{2r_S