22、狭义相对论与曲线坐标空间相关知识解析

狭义相对论与曲线坐标空间相关知识解析

1. 能量 - 动量张量

在研究广义相对论时，能量 - 动量张量（也称为应力 - 能量张量）$T^{\mu\nu}$ 十分重要，它能表示由粒子和场组成的流体的能量密度、压力等特性。该张量是对称的，即 $T^{\mu\nu}=T^{\nu\mu}$，大致代表了 $p^{\mu}$ 穿过 $x^{\nu}$ 为常数的表面的通量加上 $p^{\nu}$ 穿过 $x^{\mu}$ 为常数的表面的通量。

假设在时空点 $x$ 处，流体具有固有密度 $\rho_0(x)$（即在静止参考系中测量的密度）和四维速度 $u_{\mu}$（也是时空的函数），且压力可忽略不计。此时，应力 - 能量张量可表示为：
$T^{\mu\nu}=\rho_0(x)u^{\mu}u^{\nu}$

其散度可表示为：
$T^{\mu\nu} {,\mu}\equiv\frac{\partial T^{\mu\nu}}{\partial x^{\mu}}\equiv\partial {\mu}T^{\mu\nu}$

进一步推导可得：
$T^{\mu\nu} {,\mu}=\partial {\mu}(\rho_0u^{\mu})u^{\nu}+\rho_0u^{\mu}\partial_{\mu}u^{\nu}$

在静止参考系中，速度为零，第二项消失；根据连续性方程，$\partial_{\mu}(\rho_0u^{\mu}) = 0$。因此：
$T^{\mu\nu}_{,\mu}=0$

这表明能量 - 动量张量是无散度的，该方程体现了相对论中能量