5、经典场论中的广义相对论与二维弯曲空间

经典场论中的广义相对论与二维弯曲空间

1. 广义相对论基础

广义相对论中的协变性、协变导数以及求两个协变导数对易子的概念，早在杨 - 米尔斯理论构建之前，就由研究黎曼几何的数学家们提出。在这一理论中，度规是核心要素。此前我们研究的是“平坦”时空，使用的是常数度规 (g_{\mu\nu}) ，而在弯曲时空中，度规变得复杂。这使得我们能以一种在一般坐标变换 (x’^{\mu}(x)) 下不变的方式，在弯曲背景中构建经典场论。

我们考虑能嵌入更高维平坦空间的弯曲空间，如 (n) 维球面 (S^n) 可嵌入 (n + 1) 维欧几里得空间。一般地，我们引入平坦坐标 (X^A)（(A = 1, 2, \cdots, n + q)）和常数度规 (\eta_{AB}) 。弯曲空间的坐标为 (x^{\mu})（(\mu = 1, 2, \cdots, n)），其嵌入元素记为 (X^A(x)) 。任意切向量可表示为 (t^A_{\mu}=\frac{\partial X^A(x)}{\partial x^{\mu}}) 的线性组合。

若使用不同曲线坐标 (x’^{\mu}) 重新表示 (x’^{\mu}(x)) ，则 (\frac{\partial X^A(x’(x))}{\partial x’^{\nu}}=\frac{\partial X^A(x’(x))}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x’^{\nu}}) 像协变向量一样变换。任意向量场 (v^{\mu}(x)) 在嵌入空间可表示为 (V^A(x)=v^{\mu}(x)\frac{\partial X^A(x)}{\partial x^{\mu}}) ，这表明 (v^{\