3、拉格朗日形式主义与相关物理问题解析

拉格朗日形式主义与相关物理问题解析

1. 旋转平台问题

在日常生活中，地球是一个旋转的参考系，研究在旋转平台上质点的运动具有实际意义。假设一个平台以频率 $\nu$ 顺时针旋转，令 $\omega = 2\pi\nu$。
- 惯性系中的拉格朗日量 ：在惯性系中，拉格朗日量为 $L(x_0, y_0, \dot{x}_0, \dot{y}_0) = \frac{1}{2}m(\dot{x}_0^2 + \dot{y}_0^2)$。
- 坐标变换 ：点的坐标变换形式为 $x = x_0 \cos(\omega t) - y_0 \sin(\omega t)$，$y = y_0 \cos(\omega t) + x_0 \sin(\omega t)$。
- 旋转系中的拉格朗日量 ：经过推导可得旋转系中的拉格朗日量为 $L(x, y, \dot{x}, \dot{y}) = \frac{1}{2}m[\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \omega^2(x^2 + y^2) - 2\omega(x\dot{y} - y\dot{x})]$。
- 运动方程 ：运动方程为 $m\ddot{x} = m\omega^2x - 2m\omega\dot{y}$，$m\ddot{y} = m\omega^2y + 2m\omega\dot{x}$。
- 受力分析
- 离心力 ：在旋转系统中，会感受到明显的离心力 $\vec{F} = (F_x