27、探索欧拉 - 拉格朗日方程：从极值问题到数学巨匠的传奇

探索欧拉 - 拉格朗日方程：从极值问题到数学巨匠的传奇

1. 极值问题的起源与发展

在许多实际问题中，我们常常需要寻找函数的极值，比如在支持向量机中，就需要找到能最大化支持向量间隔的函数，同时还要满足支持向量必须是离超平面最近的向量这一约束条件。这与简单的成本函数最小化计算不同，因为这里计算的函数本身是一条曲线，而非曲线上的一个点。

极值问题有着悠久而有趣的历史。在封建欧洲，土地从父亲传给儿子时，会根据每个儿子用等长绳子在一天内圈出的土地面积来分配。聪明的父亲通过这样的“智商测试”，能确保最聪明的儿子继承最多的土地。不过，最早确定绳子轨迹的不是那些男孩，而是一位女孩。大约 3000 年前，腓尼基公主狄多（Dido）为躲避残暴的哥哥，逃到了如今北非西岸的突尼斯。当地国王虽给予她庇护，却吝啬地只给了她“一张牛皮所能围住的土地”。狄多公主凭借智慧，将牛皮剪成细条，连接成一条长绳，然后在海岸边固定一端，将绳子围成一个半径很大的圆圈，圈出的面积远超国王的预期。传说这个圆圈后来成为了神话般的迦太基城的中心，狄多公主也成为了迦太基女王。

这个关于用曲线围出最大面积的问题，被亲切地称为狄多问题，在学术上则被称为等周问题。如今，大家都知道答案是圆能围出最大面积，但数学家们更关注的是如何证明圆确实能围出最大面积，而这个数学证明并非显而易见。

2. 等周问题的几何证明尝试

历史上有许多人尝试用几何方法证明等周问题，其中阿基米德（Archimedes）在公元前 250 年左右的方法很有代表性。他在圆内刻一个多边形（顶点都在圆上），当多边形的边数 n 不断增加形成 n 边形时，其面积也会不断增大。当边数趋近于无穷大时，n 边形就会趋近于圆，阿基米德将这种从内部用