关于欧拉角和Gimbal lock

参考资料：
https://krasjet.github.io/quaternion/bonus_gimbal_lock.pdf
http://www.zwqxin.com/archives/arithmetic/gimballock-and-quaternion.html

之前讲了一些欧拉角的知识，欧拉角是用3个角度，来表达空间内的旋转。但是采用欧拉角表示旋转有一个问题，就是gimbal lock。
我们选择如下顺序的欧拉角进行表示：

图（1）中两个坐标系重合，首先沿着自身的z’轴进行旋转，得到图（2）。然后沿着y’轴进行旋转pi/2角度，得到图（3）。此时可以看到，按照上文所选欧拉角旋转顺序，需要绕x’轴进行旋转，但此时x’轴与最开始的z’轴共线，所以绕x’轴旋转并不产生什么额外的作用，都可以通过第一步中，绕z’轴的旋转进行实现。这种就是旋转自由度丢失了一个

这个问题反映在计算过程中，有如下问题：
比如我们选择用特定的顺序的欧拉角表示一个旋转，当从旋转矩阵重建欧拉角表达的过程中，会有问题。依然以上问所述欧拉角为例，当绕y’轴旋转pi/2时，有：

此时，我们无法通过4个0位置的元素，重建唯一的$\alpha$和$\beta$。也就无法进行相应的积分求导等操作。

从上面的参考文献中也能看出：
（1）空间中任意形态旋转都一定能表达成一个3x3旋转矩阵
（2）给出三个欧拉角可以唯一的得出一个3x3矩阵
（3）但是给出一个旋转矩阵，不一定能得出唯一一个欧拉角（gimbal lock）