李群李代数及其slam应用

参考文献

【1】slam十四讲
【2】barfoot state estimation这本书
【3】Quaternion kinematics for the error-state Kalman filter
【4】预积分北航博士讲解

slam十四讲内容概括

看了slam十四讲课程，总结一下。
（1）描述空间旋转的方法：旋转矩阵，旋转向量，欧拉角，四元数等
（2）当我们进行估计或优化时，面对的是一个关于空间旋转的目标函数，我们需要求导数。所以需要一种比较好的表达
（3）比如采用旋转矩阵作为自变量，引入到优化目标函数中。旋转矩阵自带一些约束（正交且行列式为1），此时优化问题不太好求解
（4）因此可以考虑在李代数上进行无约束优化

（1）主要讲李群李代数的对应关系，以及对应的求导
（2）特殊正交群SO(3)，特殊欧式群SE(3)

（1）什么是群


（1）李群和群的关系
（2）SO(3)和SE(3)的问题是：只有良好定义的乘法，没有良好定义的加法，所以难以进行取极限求导等操作。因为根据导数的定义，需要进行加法。而旋转矩阵无法进行加法，只能进行乘法。
但是在后面位姿估计中，一定会用到求导和加法的问题，所以要想办法替代

（1）一种李群对应着一种李代数：旋转矩阵群对应一种旋转李代数，变换矩阵对应一种李代数。
（2）李代数位于向量空间，是李群单位圆处的正切空间。

（1）对上一页公式对时间求导

（1）引入反对称符号

（1）通过上面的求导，解微分方程，建立李群和李代数之间的指数映射关系

（1）这个就算找到了旋转矩阵和向量的关系

（1）李代数的一种定义

（1）单独讲一下李括号，三维空间向量+叉积构成李代数

（1）变换群同样可以定义出对应李代数se(3)

（1）泰勒展开化简

（1）也就是说李代数的意义：就是旋转向量



（1）有了李代数，相当于有了求导途径

（1）关键问题，在矩阵指数上，是否成立，但是对于矩阵来说，就不成立了

（1）尽管不成立，但也有相应的表达形式。

（1）下面公式的意思是：当在一个旋转轴角向量上直接增加一个小量，并不等于旋转矩阵的相乘
（2）在小量上乘以一个雅阁比，然后再与旋转轴角向量相加，就可以近似得到旋转向量相乘的概念。


（1）举了一个例子，我们去旋转一个点，现在求，旋转后的点，关于旋转的偏导数。这个例子牛逼，其实在legoloam中，定义点到线，点到面的距离，是不是也可以这么求。重点
（2）注意，这里导数模型和扰动模型

（1）这里的推导厉害：；导数模型

（1）扰动模型：看起来更加简洁一些，相差了一个雅阁比矩阵