2、RSA部分密钥暴露攻击的格基技术研究

RSA部分密钥暴露攻击的格基技术研究

1. 预备知识

在深入探讨之前，我们先了解一些关于格约减技术的基本概念。
- 格的定义 ：设一组线性无关的向量$u_1, \ldots, u_{\omega} \in Z^n$，且$\omega \leq n$。由${u_1, \ldots, u_{\omega}}$张成的格$L$，是这些向量的所有整数线性组合的集合。向量的数量$\omega$就是格的维度。当$\omega = n$时，这样的格称为满秩格。
- 格的行列式 ：通过对$u_1, \ldots, u_{\omega}$应用Gram - Schmidt过程得到向量$u_1^ , \ldots, u_{\omega}^ $，格$L$的行列式定义为$\det(L) = \prod_{i = 1}^{\omega} |u_i^ |$，其中$|\cdot|$表示向量的欧几里得范数。
- 多项式的范数 *：对于二元多项式$g(x, y) = \sum a_{i,j}x^iy^j$，欧几里得范数定义为$|g(x, y)| = \sqrt{\sum_{i,j} a_{i,j}^2}$，无穷范数定义为$|g(x, y)| {\infty} = \max {i,j} |a_{i,j}|$。

此外，还有一些重要的事实和引理：
- LLL算法 ：给定格$L$的一组基$u_1, \ldots, u_{\omega}$，LLL算法会生成$L$的一组新基$b_1, \ldots, b_{\o