题目
设 (x1,x2,...,x10)(x_1, x_2, ..., x_10)(x1,x2,...,x10) 为 $(1, 2, …, 10) 的一个排列,且满足
∑i=110(∣xi−i∣+∣xi+i∣)=160\sum_{i=1}^{10}(\lvert x_i-i \rvert+ \lvert x_i+i \rvert)=160i=1∑10(∣xi−i∣+∣xi+i∣)=160
则这样的排列有多少个?
题目来源为:2020年百子菁英计划青少年数学爱好者沙龙——S6的提供题第 666 题。
分析
本题主要是在求和中有绝对值,因此我们要考虑如何将绝对值符号去了。通过观察,带绝对值的有两项:
1、∣xi−i∣\lvert x_i-i \rvert∣xi−i∣;
2、∣xi+i∣\lvert x_i+i \rvert∣xi+i∣。
Solution
由于 xi>0,i>0x_i>0, i>0xi>0,i>0,因此 ∣xi+i∣\lvert x_i+i \rvert∣xi+i∣ 可以变为 xi+ix_i+ixi+i。这样原表达式变为
∑i=110(∣xi−i∣+∣xi+i∣)=∑i=110(∣xi−i∣+xi+i)=∑i=110(∣xi−i∣)+∑i=110xi+∑i=110i。\sum_{i=1}^{10}(\lvert x_i-i \rvert+ \lvert x_i+i \rvert)\\
=\sum_{i=1}^{10}(\lvert x_i-i \rvert+x_i+i)\\
=\sum_{i=1}^{10}(\lvert x_i-i \rvert)+\sum_{i=1}^{10}x_i+\sum_{i=1}^{10}i。i=1∑10(∣xi−i∣+∣xi+i∣)=i=1∑10(∣xi−i∣+xi+i)=i=1∑10(∣xi−i∣)+i=1∑10xi+i=1∑10i。
这样,我们可以计算 ∑i=110xi\sum_{i=1}^{10}x_i∑i=110xi 和 ∑i=110i\sum_{i=1}^{10}i∑i=110i。
根据题目给出条件,
∑i=110xi=1+2+...+10=10∗11/2=55∑i=110i=1+2+...+10=10∗11/2=55\sum_{i=1}^{10}x_i=1+2+...+10=10*11/2=55\\
\sum_{i=1}^{10}i=1+2+...+10=10*11/2=55i=1∑10xi=1+2+...+10=10∗11/2=55i=1∑10i=1+2+...+10=10∗11/2=55
推导出
∑i=110(∣xi−i∣+∣xi+i∣)=∑i=110(∣xi−i∣)+110⇒∑i=110(∣xi−i∣)=160−110=50(1)\sum_{i=1}^{10}(\lvert x_i-i \rvert+ \lvert x_i+i \rvert)\\
=\sum_{i=1}^{10}(\lvert x_i-i \rvert)+110\\
\Rightarrow\\
\sum_{i=1}^{10}(\lvert x_i-i \rvert)=160-110=50 \quad \quad (1)i=1∑10(∣xi−i∣+∣xi+i∣)=i=1∑10(∣xi−i∣)+110⇒i=1∑10(∣xi−i∣)=160−110=50(1)
下面我们对这个化简后的式子 (1)(1)(1) 进行讨论即可。
根据题目给定的条件,xi∈[1,10]x_i \in [1, 10]xi∈[1,10] 同时 i∈[1,10]i \in [1, 10]i∈[1,10],因此 xix_ixi 的排列为 10!10!10!,iii 的排列为 10!10!10!,这样所有的排列为 (10!)∗(10!)=(10!)2(10!)*(10!)=(10!)^2(10!)∗(10!)=(10!)2。
我们发现式 (1)(1)(1) 总和为 50=10∗550=10*550=10∗5,也就是构造 101010 个 555 就可以达到目的。这样我们有:
1、10−5=510-5=510−5=5;
2、9−4=59-4=59−4=5;
3、8−3=58-3=58−3=5;
4、7−2=57-2=57−2=5;
5、6−1=56-1=56−1=5;
6、5−10=−55-10=-55−10=−5;
7、4−9=−54-9=-54−9=−5;
8、3−8=−53-8=-53−8=−5;
9、4−9=−54-9=-54−9=−5;
10、5−10=−55-10=-55−10=−5;
也就是当 xix_ixi 中 555 个大于 555 的数都取正号,555 个不大于 555 的数字都取负号,同时当 iii 中 555 个大于 555 的数取正号,555 个不大于 555 的数取负号时,∑i=110(∣xi−i∣)=50\sum_{i=1}^{10}(\lvert x_i-i \rvert)=50∑i=110(∣xi−i∣)=50。
因此,要让式 (1)(1)(1) 成立我们可以得到两个结果:
1、当 1≤i≤51 \leq i \leq 51≤i≤5 同时 6≤xi≤106 \leq x_i \leq 106≤xi≤10;
2、当 6≤i≤106 \leq i \leq 106≤i≤10 同时 1≤xi≤51 \leq x_i \leq 51≤xi≤5。
这样,我们可以得到最终答案为 5!∗5!=(5!)2=1202=144005!*5!=(5!)^2=120^2=144005!∗5!=(5!)2=1202=14400。