19、主成分与广义主成分分析算法解析

主成分与广义主成分分析算法解析

在数据分析和机器学习领域，主成分分析（PCA）和广义主成分分析（GPCA）是非常重要的技术。PCA 用于提取数据的主要特征，而 GPCA 则是在更广泛的矩阵关系下进行特征提取。下面将详细介绍相关算法及其特性。

1. 确定性离散时间（DDT）系统下的 PCA 与 MCA 算法

在 DDT 系统中，PCA 和最小成分分析（MCA）算法的收敛性分析是关键。存在如下关系：
[g (1 - (1 + s) |W(k + 1)|^2 + W^T(k + 1)RW(k + 1))z_i(k + 1) - \lambda(k + 1)Y_0e^{-h_0(k + 1)}, (i = n - p + 1, \ldots, n)]
当 (k \geq 0) 时，有 (\lim_{k \to \infty} z_i(k) = z^ _i)，其中 (z^ _i) 为常数。

若满足 (g\lambda_1 < 0.25) 且 (g \leq 0.3)，当 (W(0) \notin V_s^{\perp}) 且 (|W(0)| \leq 1) 时，MCA 的权重向量会收敛到相关矩阵最小特征值对应的单位特征向量。

1.1 计算机模拟验证

为了验证算法的性能，进行了计算机模拟实验。随机生成一个 (12 \times 12) 的相关矩阵，其特征值分别为 (\lambda_1 = 0.2733)，(\lambda_2 = 0.2116)，(\lambda_3 = 0.1543)，(\ldots)，(\lambda_{12} = 0.0001)。初始权重向量为高斯分布，零均值且单位标准差，其范数