19、具有小嵌入度的近素数阶椭圆曲线研究

具有小嵌入度的近素数阶椭圆曲线研究

1. 引理与定义

• 引理3 ：给定 $t(x) = ax + b$，若方程 (5) 中的 $d$ 不能整除 $a$，则 $d$ 是无平方因子的。证明过程通过反证法，假设 $d$ 不是无平方因子，即 $d = p^2 × d’$（$p$ 是大于等于 2 的素数），然后分 $k = 3$、$k = 4$ 和 $k = 6$ 三种情况进行讨论，得出与已知条件矛盾的结果，从而证明 $d$ 是无平方因子的。
  • $k = 3$ 时 ：因为 $p$ 整除 $\Phi_3(b - 1) = b^2 - b + 1$ 和 $2b - 1$，所以 $p$ 整除 $(2b - 1) + \Phi_3(b - 1) = b(b - 1)$，又因为 $p$ 不整除 $(b - 1)$，所以 $p$ 整除 $b$。但同时 $p$ 整除 $2b - 1$，这就意味着 $p$ 整除 $b - 1$，与引理矛盾。
  • $k = 4$ 时 ：$p$ 整除 $2(b - 1)$，但根据引理 $p$ 不整除 $(b - 1)$，所以 $p$ 整除 2。然而，$\Phi_4(b - 1) \equiv {1, 2} \pmod{4}$，不可能有 $d = 2^2 × d’$ 且 $d$ 整除 $\Phi_4(b - 1)$。
  • $k = 6$ 时 ：$p$ 整除 $\Phi_6(b - 1) = b^2 - 3b + 3$ 和 $2b - 3$，所以 $p$ 整除 $(2b - 3)