17、上下文鲁棒优化与不确定性量化及高维图不变量在破对称中的应用

上下文鲁棒优化与不确定性量化及高维图不变量在破对称中的应用

上下文鲁棒优化与不确定性量化

在优化问题中，我们常常需要处理参数的设置问题。这里，我们将这些参数的设置转化为优化问题。首先，我们要找到最小的 $\hat{\gamma} 1$，使得（未知的）条件均值落在由预测均值和方差定义的椭球不确定性集合内，其数学表达式为：
$$
\arg \min {\gamma_1} {\gamma_1|E[(\xi - \hat{\mu}(x))^T \hat{\Sigma}^{-1}(x)(\xi - \hat{\mu}(x)) \leq \gamma_1|x]}
$$
对于这个问题，我们使用 $(x, \xi) \in V$ 作为代理。具体操作步骤如下：
1. 计算每个点的距离。
2. 选取这些距离的中位数。

这样做的动机是基于一个假设，即真实的条件分布平均是对称的，因此大约一半的时间里，实际值与预测均值的距离会比与真实均值的距离更远。

设置 $\gamma_2$ 相对更困难一些，因为相关的约束是使用 Loewner 序定义的。对于保留集里的每个点 $(x_i, \xi_i) \in V$，我们需要解决以下半定规划（SDP）问题：
$$
\hat{\gamma} {2,i} = \arg \min {\gamma_2} {\gamma_2|\gamma_2 \hat{\Sigma}(x_i) - Z \succeq 0, \gamma_2 \geq 0}
$$
其中，$Z = \frac{1}{|V|} \sum_{i \in V} ((\xi_i