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量子计算：从背包问题到实际应用
1. 用 Grover 优化器解决背包问题
1.1 问题描述
考虑一个背包问题，有三个物品，其价值和重量如下表所示，背包的最大承重为 4。
| 物品标签 | 价值（$） | 重量 |
|---|---|---|
| 0 | 2000 | 3 |
| 1 | 3000 | 2 |
| 2 | 1000 | 1 |
我们可以使用二进制变量的线性函数来表示每个选择的价值和重量，其中 $k_0$、$k_1$ 和 $k_2$ 是二进制变量，指示物品是否包含在背包中。
1.2 准备状态
使用三个寄存器来编码每个可能的选择以及每个选择的重量和价值。定义每个寄存器的大小：
n_key = 3
n_value = 3
n_weight = 4
可以使用元组列表来表示价值和重量函数：
v = [(2, [0]), (3, [1]), (1, [2])]
w = [(3, [0]), (2, [1]), (1, [2])]
以下是构建背包电路的函数：
from algo import encode_term
def build_knapsack_circuit(n_key, n_value, n_weight, v, w):
key = QuantumRegister(n_key)
value = QuantumRegister(n_value)
weight = QuantumRegister(n_weight)
circuit = QuantumCircuit(key, value, weight)
for i in range(len(key)):
circuit.h(key[i])
for i in range(len(value)):
circuit.h(value[i])
for i in range(len(weight)):
circuit.h(weight[i])
for (term, vars) in v:
encode_term(term, vars, circuit, key, value)
circuit.iqft(value[::-1], swap=False)
for (term, vars) in w:
encode_term(term, vars, circuit, key, weight)
circuit.iqft(weight[::-1], swap=False)
return circuit
创建起始电路：
qc = build_knapsack_circuit(n_key, n_value, n_weight, v, w)
此时，每个可能选择对应的结果具有相等的概率。
1.3 编码约束
为了编码选择的重量小于或等于 4 的约束，将编码的重量函数调整为 $w’ = 4 - w$，使得对于满足重量要求的选择，重量寄存器中编码的整数为非负（$w’ \geq 0$）。
w = [(3, [0]), (2, [1]), (1, [2])]
max_weight = 4
w_adjusted = [(max_weight, [])] + [(-item[0], item[1]) for item in w]
同样，调整编码的价值函数。最有价值的物品价值为 3，且其重量小于允许的容量。将价值函数调整为 $v’ = v - 3$，使得对于所需选择，价值寄存器中编码的整数为非负（$v’ \geq 0$）。
values = [2, 3, 1]
v = [(2, [0]), (3, [1]), (1, [2])]
v_adjusted = [(-max(values), [])] + v
1.4 定义 Grover 优化器的参数
使用之前定义的
grover_optimizer
函数来解决这个问题，需要定义传递给它的参数。
-
定义 oracle
：使用
oracle_match_0_multi函数创建一个 oracle，用于标记价值和重量寄存器中第一位为 0 的结果。
from algo import oracle_match_0_multi
oracle = oracle_match_0_multi(
n_key + n_value + n_weight,
[
n_key + n_value - 1,
n_key + n_value + n_weight - 1
]
)
- 定义构建电路的函数 ：
def build_circuit(flow_state):
return build_knapsack_circuit(
flow_state['circuit_params']['n_key'],
flow_state['circuit_params']['n_value'],
flow_state['circuit_params']['n_weight'],
flow_state['circuit_params']['v'],
flow_state['circuit_params']['w']
)
- 定义处理测量结果的函数 ：
def process_outcome(outcome, flow_state):
n = (
flow_state['circuit_params']['n_key'] +
flow_state['circuit_params']['n_value'] +
flow_state['circuit_params']['n_weight']
)
outcome_selection = padded_bin(n, outcome)[-n_key:]
outcome_value = get_selection_value(outcome_selection, v)
outcome_weight = get_selection_weight(outcome_selection, w)
return outcome_selection, outcome_value, outcome_weight
- 定义检查是否有进展的函数 ：
def progress(results, flow_state):
outcome_selection, outcome_value, outcome_weight = results
min_value = flow_state['circuit_params']['min_value']
return (outcome_value >= min_value) and (outcome_weight <= max_weight)
- 定义更新电路参数的函数 ：
def update_circuit_params(outcome_results, flow_state):
circuit_params = flow_state['circuit_params']
outcome_selection, outcome_value, outcome_weight = outcome_results
v = circuit_params['v']
v[0] = (-outcome_value - 1, [])
circuit_params['min_value'] = outcome_value + 1
action_on_progress(flow_state)
现在可以使用
grover_optimizer
函数：
grover_optimizer(
{
'n_key': n_key,
'n_value': n_value,
'n_weight': n_weight,
'v': v_adjusted,
'w': w_adjusted,
'min_value': min_value
},
build_circuit,
oracle,
update_circuit_params,
progress,
process_outcome,
stopping_condition=lambda flow_state: flow_state['failure_count'] > 3
)
实现从寻找最大重量为 4 且最小价值为 3 的选择开始。在不应用 Grover 算子的任何迭代时，测量每个可能选择的可能性相等。随着迭代的进行，不断调整参数以寻找更好的解决方案，直到满足停止条件。
1.5 总结
- Grover 自适应搜索可用于解决好结果数量未知的优化问题。它使用调度来确定在每个步骤尝试多少次 Grover 迭代，需要一个停止条件，并可用于构建 Grover 优化器，动态调整迭代次数和准备待搜索状态的电路参数，以高效找到最优解。
- 使用 Grover 优化器搜索函数的最大值或最小值时，每次成功测量后更新编码函数的参数，以将搜索空间限制在更好的解决方案上。
- 高效 Grover 优化器的关键是使用高效的底层 oracle。
2. 量子计算概念回顾
2.1 量子就绪
量子硬件和量子软件对于释放量子计算的全部潜力都至关重要。在大规模量子硬件可用之前，我们可以主动识别和分析可能从量子方法中受益的技术和业务问题，从而为未来的量子应用建立坚实的基础，实现“量子就绪”。
2.2 量子优势及其局限性
量子并行性和测量是量子计算的强大能力。量子并行性可以看作是具有特定结构的矩阵的即时乘法，但这种结构对可以从量子并行性中受益的问题类型施加了限制。量子测量使我们能够从量子态定义的概率分布中进行高效采样。
量子计算有三种主要模式：
-
从概率分布中采样
：实现了一些有用的分布，用于真正的随机采样。
-
搜索特定结果
：学习了如何实现量子搜索，并查看了几个示例，包括背包问题和寻找给定函数的最小值或最大值。
-
估计特定结果的概率
：使用量子振幅估计进行。
2.3 构建量子软件并在真实量子计算机上运行
2.3.1 快速灵活的量子模拟器的重要性
量子计算的核心概念相对容易用经典代码表示，创建一个功能齐全的量子计算模拟器只需要几百行代码。但量子计算模拟器不仅用于学习，对于试验现有算法和创建新算法，拥有一个灵活的模拟器至关重要。
在模拟量子电路时，经典计算通常是计算密集型的。有时可以采取捷径来降低模拟特定量子操作的计算复杂度。例如，(相位) oracle 可以在模拟器中简单地将所需结果的振幅乘以 -1，而无需使用量子门；量子傅里叶变换可以使用快速傅里叶变换 (FFT) 在模拟器中实现。
2.3.2 Hume 和 Qiskit 之间的源代码级兼容性
构建了一个名为 Hume 的量子计算模拟器，其编写量子电路的语法与 Qiskit 非常相似。为了实现 Hume 和 Qiskit 之间的源代码级兼容性，对 Qiskit 的
QuantumCircuit
类进行了增强，添加了一些方法：
from collections import Counter
from random import choices
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.circuit.add_control import add_control
from qiskit.circuit.library import QFT
from qiskit.quantum_info import Statevector
def run(self):
return Statevector(self).data
def c_append(self, U, c, q):
cU = add_control(U.to_instruction(), 1, '', 0)
self.append(cU, [c] + [qb for qb in q])
def qft(self, targets, swap=True):
qft = QFT(
num_qubits=len(targets),
do_swaps=swap,
inverse=False
)
self.append(qft, qargs=targets)
def iqft(self, targets, swap=True):
iqft = QFT(num_qubits=len(targets), do_swaps=swap, inverse=True)
self.append(iqft, qargs=targets if swap else targets[::-1])
def measure(self, shots=0):
state = self.run()
samples = choices(
range(len(state)),
[abs(state[k]) ** 2 for k in range(len(state))],
k=shots)
counts = {}
for (k, v) in Counter(samples).items():
counts[k] = v
return {'state vector': state, 'counts': counts}
setattr(QuantumCircuit, 'run', run)
setattr(QuantumCircuit, 'c_append', c_append)
setattr(QuantumCircuit, 'qft', qft)
setattr(QuantumCircuit, 'iqft', iqft)
setattr(QuantumCircuit, 'measure', measure)
通过配置文件可以在 Hume 和 Qiskit 之间切换：
# src/config.py
SIMULATOR = 'hume'
# SIMULATOR = 'qiskit'
# hume/__init__.py
from config import SIMULATOR
if SIMULATOR == 'qiskit':
from qiskit import QuantumRegister, QuantumCircuit
elif SIMULATOR == 'hume':
from hume.simulator.circuit import QuantumCircuit, QuantumRegister
以下代码可以在 Hume 和 Qiskit 上运行：
from hume import QuantumRegister, QuantumCircuit
q = QuantumRegister(3)
qc = QuantumCircuit(q)
qc.h(q[0])
qc.h(q[1])
qc.mcx([q[0], q[1]], q[2])
state = qc.run()
2.3.3 在真实量子硬件上运行
创建了工具，可以无缝地将 Hume 电路转换为 Qiskit 电路，从而可以在 IBM 量子后端（包括模拟器和真实量子计算机）上运行代码。
以下是在真实量子计算机上运行的示例步骤：
1. 安装
qiskit-ibm-runtime
包并导入所需的模块：
from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService, Sampler
from qiskit.compiler import transpile
from qiskit.visualization import plot_histogram
- 插入 IBM Quantum API 密钥并进行身份验证：
QiskitRuntimeService.save_account(
channel="ibm_quantum",
token="<MY_IBM_QUANTUM_TOKEN>",
instance="ibm-q/open/main",
overwrite=True
)
- 初始化服务：
service = QiskitRuntimeService()
- 查看可用系统：
service.backends()
- 使用 Hume 构建一个小的示例电路：
from hume.simulator.circuit import QuantumRegister, QuantumCircuit
q = QuantumRegister(3)
qc = QuantumCircuit(q)
qc.h(q[0])
qc.h(q[1])
qc.mcx([q[0], q[1]], q[2])
- 将 Hume 电路转换为 Qiskit 电路：
from hume.qiskit.util import hume_to_qiskit
qc_qiskit = hume_to_qiskit(qc.regs, qc.transformations)
- 添加测量操作：
qc_qiskit.measure_all()
- 可视化电路：
qc_qiskit.draw()
- 选择后端：
backend = service.least_busy(operational=True, simulator=False)
print(backend.name)
- 创建采样器对象：
sampler = Sampler(backend=backend)
- 进行基本的转译：
qc_transpiled = transpile(qc_qiskit, backend)
通过以上步骤，我们可以看到如何使用量子计算解决背包问题，以及如何构建量子软件并在真实量子计算机上运行。量子计算在优化问题等领域具有巨大的潜力，但也面临着一些挑战，如硬件的稳定性和可扩展性等。未来，随着技术的不断发展，量子计算有望在更多领域发挥重要作用。
3. 量子计算应用流程总结
3.1 解决背包问题流程
下面是使用 Grover 优化器解决背包问题的详细流程：
graph TD
A[定义问题] --> B[准备状态]
B --> C[编码约束]
C --> D[定义 Grover 优化器参数]
D --> E[运行优化器]
E --> F{是否满足停止条件}
F -- 是 --> G[输出结果]
F -- 否 --> E
具体步骤如下：
1.
定义问题
：明确物品的价值、重量和背包的最大承重，如本文中的三个物品的价值和重量表格所示。
2.
准备状态
：使用寄存器编码可能的选择、价值和重量，创建起始电路。
- 定义寄存器大小：
n_key = 3
n_value = 3
n_weight = 4
- 表示价值和重量函数：
v = [(2, [0]), (3, [1]), (1, [2])]
w = [(3, [0]), (2, [1]), (1, [2])]
- 构建背包电路：
from algo import encode_term
def build_knapsack_circuit(n_key, n_value, n_weight, v, w):
key = QuantumRegister(n_key)
value = QuantumRegister(n_value)
weight = QuantumRegister(n_weight)
circuit = QuantumCircuit(key, value, weight)
for i in range(len(key)):
circuit.h(key[i])
for i in range(len(value)):
circuit.h(value[i])
for i in range(len(weight)):
circuit.h(weight[i])
for (term, vars) in v:
encode_term(term, vars, circuit, key, value)
circuit.iqft(value[::-1], swap=False)
for (term, vars) in w:
encode_term(term, vars, circuit, key, weight)
circuit.iqft(weight[::-1], swap=False)
return circuit
qc = build_knapsack_circuit(n_key, n_value, n_weight, v, w)
-
编码约束
：调整价值和重量函数，使满足条件的选择在寄存器中编码为非负整数。
- 调整重量函数：
w = [(3, [0]), (2, [1]), (1, [2])]
max_weight = 4
w_adjusted = [(max_weight, [])] + [(-item[0], item[1]) for item in w]
- 调整价值函数：
values = [2, 3, 1]
v = [(2, [0]), (3, [1]), (1, [2])]
v_adjusted = [(-max(values), [])] + v
-
定义 Grover 优化器参数
：包括 oracle、构建电路函数、处理结果函数、检查进展函数、更新电路参数函数和停止条件。
- 定义 oracle：
from algo import oracle_match_0_multi
oracle = oracle_match_0_multi(
n_key + n_value + n_weight,
[
n_key + n_value - 1,
n_key + n_value + n_weight - 1
]
)
- 定义构建电路的函数：
def build_circuit(flow_state):
return build_knapsack_circuit(
flow_state['circuit_params']['n_key'],
flow_state['circuit_params']['n_value'],
flow_state['circuit_params']['n_weight'],
flow_state['circuit_params']['v'],
flow_state['circuit_params']['w']
)
- 定义处理测量结果的函数：
def process_outcome(outcome, flow_state):
n = (
flow_state['circuit_params']['n_key'] +
flow_state['circuit_params']['n_value'] +
flow_state['circuit_params']['n_weight']
)
outcome_selection = padded_bin(n, outcome)[-n_key:]
outcome_value = get_selection_value(outcome_selection, v)
outcome_weight = get_selection_weight(outcome_selection, w)
return outcome_selection, outcome_value, outcome_weight
- 定义检查是否有进展的函数：
def progress(results, flow_state):
outcome_selection, outcome_value, outcome_weight = results
min_value = flow_state['circuit_params']['min_value']
return (outcome_value >= min_value) and (outcome_weight <= max_weight)
- 定义更新电路参数的函数：
def update_circuit_params(outcome_results, flow_state):
circuit_params = flow_state['circuit_params']
outcome_selection, outcome_value, outcome_weight = outcome_results
v = circuit_params['v']
v[0] = (-outcome_value - 1, [])
circuit_params['min_value'] = outcome_value + 1
action_on_progress(flow_state)
- 运行优化器：
grover_optimizer(
{
'n_key': n_key,
'n_value': n_value,
'n_weight': n_weight,
'v': v_adjusted,
'w': w_adjusted,
'min_value': min_value
},
build_circuit,
oracle,
update_circuit_params,
progress,
process_outcome,
stopping_condition=lambda flow_state: flow_state['failure_count'] > 3
)
- 运行优化器 ：不断迭代，根据结果更新参数，直到满足停止条件。
3.2 在真实量子计算机上运行流程
在真实量子计算机上运行量子电路的流程如下：
graph TD
A[安装并导入模块] --> B[身份验证]
B --> C[初始化服务]
C --> D[查看可用系统]
D --> E[构建 Hume 电路]
E --> F[转换为 Qiskit 电路]
F --> G[添加测量操作]
G --> H[可视化电路]
H --> I[选择后端]
I --> J[创建采样器对象]
J --> K[进行转译]
具体操作步骤已在前面详细列出，这里再次总结：
1. 安装
qiskit-ibm-runtime
包并导入所需的模块。
2. 插入 IBM Quantum API 密钥并进行身份验证。
3. 初始化服务。
4. 查看可用系统。
5. 使用 Hume 构建一个小的示例电路。
6. 将 Hume 电路转换为 Qiskit 电路。
7. 添加测量操作。
8. 可视化电路。
9. 选择后端。
10. 创建采样器对象。
11. 进行基本的转译。
4. 量子计算未来展望
4.1 潜力与挑战
量子计算在优化问题、随机采样、机器学习等领域展现出巨大的潜力。例如，在解决背包问题中，Grover 优化器能够高效地搜索最优解。然而，量子计算也面临着诸多挑战。
4.1.1 硬件方面
- 稳定性 ：量子比特非常脆弱，容易受到外界环境的干扰，如温度、电磁辐射等，导致计算结果出现误差。
- 可扩展性 ：目前的量子计算机所能容纳的量子比特数量有限，难以处理大规模的复杂问题。
4.1.2 软件方面
- 算法优化 ：虽然已经有一些有效的量子算法，但仍需要不断优化，以提高计算效率和准确性。
- 兼容性 ：不同的量子计算平台和软件工具之间的兼容性有待提高，这给开发者带来了一定的困扰。
4.2 发展趋势
- 硬件技术的进步 ：随着科研的不断投入，量子比特的稳定性和数量有望得到显著提升，从而推动量子计算机的性能不断提高。
- 算法创新 ：研究人员将继续探索新的量子算法，以解决更多类型的实际问题，扩大量子计算的应用范围。
- 混合计算模式 ：将量子计算与经典计算相结合的混合计算模式可能会成为未来的主流，充分发挥两者的优势。
总之，量子计算是一个充满前景但也充满挑战的领域。随着技术的不断发展和创新，我们有理由相信量子计算将在未来的科技领域中发挥重要的作用，为解决各种复杂问题提供强大的工具。
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