4、量子计算初探：背包问题

量子计算初探：背包问题

1. 优化问题概述

优化问题的目标是在一定约束条件下找到“最优”值。“最优”的定义因问题而异，可能是最大值、最小值或满足其他特定标准的值。为解决优化问题，通常需逐步逼近最优值。

1.1 二进制优化问题

二进制优化是常见的优化问题类型，涉及一组具有二进制选择（如是或否、包含或不包含、开或关等）的变量。目标是找到二进制选择的组合，以获得特定问题的最优解。然而，在经典计算中解决二进制优化问题存在实际限制，因为随着变量数量线性增加，可能的组合数量呈指数级增长。即使使用最复杂、高效的经典算法，这种指数级增长也会迅速使计算变得困难。因此，我们来探讨量子方法如何更有效地解决优化问题。

1.2 背包问题

如果你熟悉计算算法，可能遇到过背包问题。它是一个简单有趣的二进制优化问题示例。假设你有一个容量有限的背包，还有一组物品，每个物品都有重量和价值（或价格）。目标是在不超过背包重量限制的前提下，最大化放入背包的物品价值。

每个物品对应一个二进制选择：放入背包或不放入背包。如果选择放入某个物品，该物品的重量会计入背包总重量，其价值也会计入总价值。我们使用二进制变量对该问题进行编码，每个物品对应一个变量，若物品放入背包则变量值为 1，否则为 0。

1.3 问题设定

我们要解决的背包问题设定如下：背包最大容量为 4 个重量单位（如千克或磅）。有三个物品，重量分别为 3、2 和 1 个单位，价值分别为 2000 美元、3000 美元和 1000 美元。为便于计算，将每个物品的价值除以 1000，得到价值分别为 2、3 和 1。以下是每个可能物品组合的价值和重量表：