21、基于搜索的量子优化：Grover自适应搜索与优化器

基于搜索的量子优化：Grover自适应搜索与优化器

1. 量子态编码函数

在量子计算中，整数键值对（如函数的输入 - 输出对）可以使用两个寄存器在量子态中表示：一个用于输入的键寄存器和一个用于输出的值寄存器。这两个寄存器是纠缠的，因此当进行测量时，结果将包含一个键及其对应的输出值。

1.1 多项式函数编码

任何整数变量的多项式函数都可以通过将其表示为二进制变量的函数来编码。具体步骤如下：
1. 创建两个具有足够量子比特的寄存器，以表示输入和输出。负数使用补码表示。
2. 将键寄存器和值寄存器置于等叠加态。
3. 对值寄存器应用相位旋转，并由键寄存器控制。这将创建一个状态，其中具有相同键的结果的振幅形成一个几何序列，反映了与该键对应的值。
4. 对值寄存器应用逆量子傅里叶变换（IQFT）。

1.2 示例代码

from sim_circuit import *
from algo import build_polynomial_circuit
n_key = 2
n_value = 4
terms = [(4, [1]), (4, [1, 0]), (1, [0]), (-5, [])]
qc = build_polynomial_circuit(n_key, n_value, terms)

在这个例子中，我们使用 build_polynomial_circuit 函数对多项式进行编码。

1.3 函数输出可视化

from util import grid_state
grid_state(qc.run(), n_key, neg = True, show_probs = False)

通过设置 neg = True ，我们可以可视化负数值。

2. Grover算法与自适应搜索

Grover算法可以在某些优化问题上比经典方法提供二次的查询速度提升。在许多情况下，我们不知道所需结果的数量，这时可以使用Grover自适应搜索（GAS）。

2.1 选择迭代次数

GAS方法使用一个调度表来尝试不同的迭代次数，选择方法包括：
- 从一个指数增长的范围中随机选择。
- 使用固定模式（例如： [0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 4, 5, 1, 6, 2, 7, 9, 11, 13, 16, 5, 20, 24, 28, 34, 2, 41, 49, 4, 60] ）。

2.2 GAS算法步骤

GAS算法寻找所需结果的步骤如下：
1. 根据所选调度表选择一个迭代次数 r ≥ 0。
2. 使用电路 A 准备初始量子态，应用 r 次 Grover 算子 G，并测量所得状态。
3. 检查测量结果是否为所需结果：
- 如果是，搜索完成。
- 如果不是，检查停止条件。如果条件满足，则放弃搜索；否则，返回步骤 1，选择下一个 r 值并重复步骤。

2.3 示例：搜索非负输出

考虑函数 f(k) = k² - 5 ，其中 k = 0, 1, 2, 3 。函数的输入 - 输出表如下：
| k | f(k) = k² - 5 |
|----|----|
| 0 | -5 |
| 1 | -4 |
| 2 | -1 |
| 3 | 4 |

我们将该函数表示为二进制变量的多项式，并使用 Grover 自适应搜索寻找非负输出。

from sim_circuit import *
from algo import build_polynomial_circuit
from algo import oracle_match_0
from algo import grover_circuit
from util import grid_state
n_key = 2
n_value = 4
terms = [(4, [1]), (4, [1, 0]), (1, [0]), (-5, [])]
qc = build_polynomial_circuit(n_key, n_value, terms)
oracle = oracle_match_0(n_key + n_value, n_key + n_value - 1)
# 不应用 Grover 算子进行测量
qc = grover_circuit(prepare, oracle, 0)
# 应用一次 Grover 算子
qc1 = grover_circuit(prepare, oracle, 1)
# 应用两次 Grover 算子
qc2 = grover_circuit(prepare, oracle, 2)

以下是 Grover 自适应搜索的流程图：

graph TD;
    A[选择 r] --> B[应用 GrA 并测量];
    B --> C{是否为好结果};
    C -- 是 --> D[成功];
    C -- 否 --> E{是否停止};
    E -- 是 --> F[失败];
    E -- 否 --> A;

3. Grover优化器寻找最优结果

Grover优化器允许我们有效地找到给定函数的全局最小值或最大值。其流程如下：
1. 从准备待搜索量子态的算子 A 和根据所选调度表应用的 Grover 算子 G 开始。
2. 使用每次搜索的结果更新电路 A 的参数和配置。

3.1 示例：寻找函数最大值

考虑函数 f(k) = -(k - 3)² + 3 ，其中 0 ≤ k < 8 。

3.1.1 函数表示为二进制多项式

我们将函数表示为二进制变量的多项式，并使用 Python 列表推导式创建对应项的元组列表。

from util import poly
n_key = 3
n_value = 6
terms = [(8, [2]), (8, [1]), (5, [0]), (-16, [1, 2]), (-8, [0, 2]), (-4, [0, 1]), (-6, [])]
p = poly(n_key, terms, False)
f = lambda k: -(k - 3)**2 + 3
for k in range(len(p)):
    assert(p[k] == f(k))

3.1.2 初始化参数

import copy
circuit_params = {'n_key': n_key, 'n_value': n_value, 'terms': terms}
flow_state = {
    'last_good_outcome_results': (None, -1),
    'failure_count': 0,
    'circuit_params': circuit_params,
    'initial_circuit_params': copy.deepcopy(circuit_params)
}
stopping_condition = lambda flow_state: flow_state['failure_count'] > 7
schedule = [0, 1]

3.1.3 构建Grover算子并测量

from algo import build_polynomial_circuit
from algo import oracle_match_0
from algo import grover_circuit
from util import padded_bin

def process_outcome(outcome, state):
    binary_string = padded_bin(n_key + n_value, outcome)
    k = int(binary_string[n_value:], 2)
    v = int(binary_string[:n_value], 2)
    if v >= 2**(n_value - 1):
        v = v - 2**n_value
    v -= (
        state['circuit_params']['terms'][0][0] -
        state['initial_circuit_params']['terms'][0][0]
    )
    assert(v == p[k])
    return (k, v)

prepare = build_polynomial_circuit(n_key, n_value, terms)
oracle = oracle_match_0(n_key + n_value, n_key + n_value - 1)
qc = grover_circuit(prepare, oracle, 0)
shots = 100
result = qc.measure(shots = shots)
outcome = max(result['counts'].items(), key = lambda k: k[1])[0]
outcome_results = process_outcome(outcome, flow_state)

3.1.4 检查进展并更新参数

def progress(results, state):
    if state['last_good_outcome_results'][1]:
        return results[1] > state['last_good_outcome_results'][1]
    return True

if progress(outcome_results, flow_state):
    def update_circuit_params(outcome_results, flow_state):
        circuit_params = flow_state['circuit_params']
        k, v = outcome_results
        t = circuit_params['terms']
        t[0] = (t[0][0] - v - 1, [])
        print('\n------------------------')
        print('New free term:', t[0][0])
    update_circuit_params(outcome_results, flow_state)

3.2 Grover优化器函数

def grover_optimizer(
    circuit_params,
    build_circuit,
    oracle,
    update_circuit_params,
    progress,
    process_outcome,
    stopping_condition=lambda flow_state: flow_state['failure_count'] > 7,
    schedule=[0, 1],
    starting_result=(None, -1)
):
    flow_state = {
        'last_good_outcome_results': starting_result,
        'failure_count': 0,
        'initial_circuit_params': copy.deepcopy(circuit_params),
        'circuit_params': circuit_params
    }
    shots = 100
    def update(outcome_results, flow_state):
        flow_state['last_good_outcome_results'] = outcome_results
        flow_state['failure_count'] = 0
        update_circuit_params(outcome_results, flow_state)
    done = False
    counter = 0
    while not done:
        counter += 1
        for r in schedule:
            print('\niteration', r)
            function = build_circuit(flow_state)
            qc = grover_circuit(function, oracle, r)
            result = qc.measure(shots=shots)
            flow_state['last_run_result'] = result
            outcome = max(
                result['counts'].items(),
                key=lambda k: k[1]
            )[0]
            outcome_results = process_outcome(outcome, flow_state)
            if progress(outcome_results, flow_state):
                print('progress', outcome_results)
                update(outcome_results, flow_state)
                break
            else:
                flow_state['failure_count'] += 1
                print('failure', outcome_results)
                if stopping_condition(flow_state):
                    print(
                        '\nSTOPPING WITH OUTCOME RESULTS',
                        flow_state['last_good_outcome_results']
                    )
                    done = True
                    break
    return flow_state['last_good_outcome_results']

3.3 使用Grover优化器解决问题

n_key = 3
n_value = 6
terms = [
    (8, [2]),
    (8, [1]),
    (5, [0]),
    (-16, [1, 2]),
    (-8, [0, 2]),
    (-4, [0, 1]),
    (-6, [])
]
result = grover_optimizer(
    {
        'n_key': n_key,
        'n_value': n_value,
        'terms': terms
    },
    build_circuit,
    oracle,
    update_circuit_params,
    progress,
    process_outcome
)
print(result)

以下是 Grover 优化器的流程图：

graph TD;
    A[构建/更新 A] --> B[选择 r];
    B --> C[应用 GrA 并测量];
    C --> D{是否有进展};
    D -- 是 --> A;
    D -- 否 --> E{是否停止};
    E -- 是 --> F[返回最优值];
    E -- 否 --> B;

通过上述步骤，我们可以使用 Grover 优化器有效地找到函数的最优值。这种方法结合了量子和经典计算技术，在处理优化问题时具有很大的潜力。

3.4 Grover优化器执行过程分析

在使用Grover优化器解决问题时，其执行过程包含多个关键步骤，下面详细分析每个步骤的作用和意义。

3.4.1 初始化阶段

在初始化阶段，我们需要设置一系列参数，包括键寄存器和值寄存器的量子比特数、多项式的项表示、停止条件和迭代调度表等。这些参数将决定后续计算的范围和规则。

import copy
n_key = 3
n_value = 6
terms = [(8, [2]), (8, [1]), (5, [0]), (-16, [1, 2]), (-8, [0, 2]), (-4, [0, 1]), (-6, [])]
circuit_params = {'n_key': n_key, 'n_value': n_value, 'terms': terms}
flow_state = {
    'last_good_outcome_results': (None, -1),
    'failure_count': 0,
    'circuit_params': circuit_params,
    'initial_circuit_params': copy.deepcopy(circuit_params)
}
stopping_condition = lambda flow_state: flow_state['failure_count'] > 7
schedule = [0, 1]

• n_key 和 n_value 分别确定了键寄存器和值寄存器所需的量子比特数，用于表示输入和输出。
• terms 列表存储了多项式的项表示，每个项由系数和对应的二进制变量索引组成。
• circuit_params 字典保存了构建电路所需的参数。
• flow_state 字典用于跟踪搜索过程中的状态，包括当前最佳结果、失败次数等。
• stopping_condition 是一个函数，用于判断是否停止搜索。
• schedule 列表定义了Grover算子的迭代次数序列。

3.4.2 迭代搜索阶段

在迭代搜索阶段，我们会根据调度表中的迭代次数，依次应用Grover算子并进行测量。每次测量后，检查结果是否有进展，如果有进展则更新电路参数，否则增加失败次数。

while not done:
    counter += 1
    for r in schedule:
        print('\niteration', r)
        function = build_circuit(flow_state)
        qc = grover_circuit(function, oracle, r)
        result = qc.measure(shots=shots)
        flow_state['last_run_result'] = result
        outcome = max(
            result['counts'].items(),
            key=lambda k: k[1]
        )[0]
        outcome_results = process_outcome(outcome, flow_state)
        if progress(outcome_results, flow_state):
            print('progress', outcome_results)
            update(outcome_results, flow_state)
            break
        else:
            flow_state['failure_count'] += 1
            print('failure', outcome_results)
            if stopping_condition(flow_state):
                print(
                    '\nSTOPPING WITH OUTCOME RESULTS',
                    flow_state['last_good_outcome_results']
                )
                done = True
                break

• function = build_circuit(flow_state) ：根据当前的状态信息构建量子电路。
• qc = grover_circuit(function, oracle, r) ：应用指定次数的Grover算子。
• result = qc.measure(shots=shots) ：进行多次测量并记录结果。
• outcome = max(result['counts'].items(), key=lambda k: k[1])[0] ：找出最频繁出现的测量结果。
• outcome_results = process_outcome(outcome, flow_state) ：将测量结果转换为有意义的输入 - 输出对。
• progress(outcome_results, flow_state) ：检查当前结果是否比之前的最佳结果更好。
• 如果有进展，则调用 update(outcome_results, flow_state) 更新状态信息，并跳出当前迭代。
• 如果没有进展，则增加失败次数，并检查是否满足停止条件。

3.4.3 结果输出阶段

当满足停止条件时，搜索过程结束，返回当前的最佳结果。

return flow_state['last_good_outcome_results']

4. 总结与展望

通过本文的介绍，我们了解了如何使用Grover自适应搜索和Grover优化器来解决量子优化问题。这些方法结合了量子计算的优势和经典计算的灵活性，为解决复杂的优化问题提供了新的思路和工具。

4.1 方法总结

• 量子态编码函数 ：通过将整数变量的多项式函数表示为二进制变量的多项式，利用两个寄存器在量子态中表示函数的输入 - 输出对。
• Grover自适应搜索 ：在不知道所需结果数量的情况下，通过动态调整Grover算子的迭代次数，有效地搜索所需结果。
• Grover优化器 ：通过不断更新电路参数和配置，逐步缩小搜索范围，最终找到函数的全局最小值或最大值。

4.2 未来展望

随着量子计算技术的不断发展，这些方法有望在更多领域得到应用，如机器学习、组合优化、金融等。同时，我们也可以进一步研究如何优化这些方法，提高搜索效率和准确性。

5. 常见问题解答

为了帮助读者更好地理解和应用上述方法，下面列出一些常见问题及其解答。

问题	解答
为什么要使用二进制变量表示多项式函数？	量子计算中，量子比特只能表示二进制状态，因此将多项式函数表示为二进制变量的多项式更便于在量子态中编码和计算。
Grover自适应搜索和传统Grover算法有什么区别？	传统Grover算法需要知道所需结果的数量，才能确定最佳的迭代次数。而Grover自适应搜索通过动态调整迭代次数，适用于所需结果数量未知的情况。
Grover优化器的停止条件有什么作用？	停止条件用于控制搜索过程的终止，避免无限循环。当满足停止条件时，搜索过程结束，返回当前的最佳结果。

通过以上内容，我们详细介绍了基于搜索的量子优化方法，包括量子态编码函数、Grover自适应搜索和Grover优化器的原理、实现步骤和应用示例。希望这些内容能够帮助读者更好地理解和应用量子优化技术，解决实际问题。