2015年国际数学奥林匹克（IMO）试题

每题7分，共6题

第一天 2015年7月10日

第1题

我们称平面上一个有限点集$S$是平衡的，如果$S$中任意两个不同的点$A$、$B$，都存在$S$中一点$C$，满足$AC=BC$. 我们称$S$是无中心的，如果对$S$中任意三个不同的店$A$、$B$、$C$，都不存在$S$中一点$P$，满足$PA=PB=PC$.
(a)证明：对每个整数$n \geq 3$，都存在一个由$n$个点组成的平衡点集.
(b)确定所有的整数$n \geq 3$，使得存在一个由$n$个点组成的平衡且无中心的点集.

第2题

确定所有三元正整数组$(a,b,c)$，使得

ab−c，bc−a