近世代数【第一章群】2 子群

最新推荐文章于 2024-07-04 14:14:50 发布

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#抽象代数 #近世代数 #代数 #群论

本文探讨了近世代数中群的子群概念。子群是群的一个非空子集，且在该子集中保持群的代数运算性质。文中详细介绍了子群的定义、性质，并通过定理1.2.1、定理1.2.2和定理1.2.3阐述了子群成立的充分必要条件，强调了子群的单位元与逆元特性。

【定义1.2.1】
设 $G$ 是一个群， $H$ 是 $G$ 的非空子集。如果 $H$ 关于 $G$ 的代数运算也成为一个群，则称 $H$ 是 $G$ 的子群，记作 $H \le G$ 。
如果从集合论的角度看， $H$ 是 $G$ 的真子集，则称 $H$ 是 $G$ 的真子群，记作 $H<G$ 。

【定理1.2.1】
设 $G$ 是一个群， $e$ 是其单位元， $H$ 是 $G$ 的子集。则 $H$ 是 $G$ 的子群的充分必要条件是：
（1）若 $a,b \in H$ ，则 $ab \in H$ ；
（2） $e \in H$ ；
（3）若 $a \in H$ ，则 $a^{-1} \in H$ 。