构造无穷个无穷小量，使它们的乘积为常数

定义函数序列$f_n:(1,+\infty) \to \mathbb R, n=1,2,3, \cdots$如下：

$$f_1(x)= \frac1x, x>1, \\ f_2(x)= \begin{cases} x, & 1<x \le 2, \\ \frac1x, & x>2, \end{cases}$$
对任意的$n \ge 3$，
$$f_n(x)=\begin{cases} 1, & 1<x \le n-1, \\ x^{n-1}, & n-1<x \le n, \\ \frac1x, & x>n \text{。} \end{cases}$$
则对任意的$n \in {\mathbb Z}^+$，有 $$\lim_{x \to +\infty} f_n(x)=0 \text{。}$$
令
$$F(x)=\prod_{n=1}^{+ \infty } f_n(x), x>1,$$
则当$x>1$时，
$$F(x)=1 \text{。}$$