近世代数【第一章群】1 群的概念

最新推荐文章于 2023-09-24 16:22:51 发布

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#集合 #运算

本文介绍了群的基本概念，包括结合律、单位元和逆元，以及交换群的特性。群的运算不一定是通常的乘法，但可以简化表示。单位元是唯一的，逆元由元素唯一确定。对于交换群，运算可视为加法。实数加法、非零实数乘法以及可逆矩阵的乘法都是群的例子。

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【定义1.1.1】
设 $G$ 为非空集合， $*$ 为 $G$ 上的一个代数运算，如果 $*$ 满足：
（1）结合律： $(a*b)*c=a*(b*c)$ ；
（2）单位元：存在 $e \in G$ ，使得对任意 $a \in G$ ，有 $e*a=a*e=a$ ；
（3）逆元：对任意 $a \in G$ ，存在 $b \in G$ ，使得 $a*b=b*a=e$ 。
则称 $(G,*)$ 是一个群。如果不关心是什么运算或上下文已指明运算，可简单地说 $G$ 是一个群。
如果 $*$ 还满足对任意 $a，b \in G$ 有 $a*b=b*a$ ，则称(G