点集拓扑中的粘接引理很基础、很重要，应用也很广泛。
粘接引理
设
{Xα|α∈Γ}
为拓扑空间
(X,TX)
的一族子拓扑空间，且
⋃α∈ΓXα=X.
(Y,TY) 为拓扑空间. 映射族 fα:Xα→Y 满足对任意的 α∈Γ ， fα 连续，且对任意的 α 、 β∈Γ ，
fα|Xα⋂Xβ=fβ|Xα⋂Xβ.
那么，存在唯一的 f:X→Y ，使得对任意的 α∈Γ ，
f|Xα=fα.
并且当下述条件之一成立时 f 连续：
(a)对任意的 α∈Γ ， Xα 是 (X,TX) 的开集；
(b) Γ 是有限集，且对任意的 α∈Γ ， Xα 是 (X,TX) 的闭集.
证明
任取
x∈X
，则存在
α0∈Γ
，使得
x∈Γ
，令
f(x)=fα0(x)
. 如果存在
α
、
β∈Γ
，使得
x∈Xα⋂Xβ
，由于
fα(x)=fβ(x)
，所以
f
的定义是确切的，我们确实定义了唯一的
f:X→Y
.
(a)任取
V∈TY
，则对任意的
α∈Γ
，
f−1α(V)
为
Xα
的开集，而
Xα∈TX
，故
f−1α(V)∈TX
，从而
f−1(V)=f−1(V)⋂X=f−1(V)⋂(⋃α∈ΓXα)
=⋃α∈Γ(f−1(V)⋂Xα)
=⋃α∈Γf−1α(V)
是 (X,TX) 的开集. 所以 f 连续.
(b)
扫一扫
1万+
到【灌水乐园】发言
