粘接引理

点集拓扑中的粘接引理很基础、很重要，应用也很广泛。

粘接引理

设$\{ X_\alpha | \alpha \in \varGamma \}$为拓扑空间$(X, \mathscr{T}_X)$的一族子拓扑空间，且

$$\bigcup_{\alpha \in \varGamma} X_\alpha = X .$$
$(Y, \mathscr{T}_Y)$为拓扑空间. 映射族$f_\alpha : X_\alpha \rightarrow Y$满足对任意的$\alpha \in \varGamma$，$f_\alpha$连续，且对任意的$\alpha$、$\beta \in \varGamma$，
$$f_\alpha |_{X_\alpha \bigcap X_\beta}=f_\beta |_{X_\alpha \bigcap X_\beta}.$$
那么，存在唯一的$f:X \rightarrow Y$，使得对任意的$\alpha \in \varGamma$，
$$f |_{X_\alpha}=f_\alpha.$$
并且当下述条件之一成立时$f$连续：
(a)对任意的$\alpha \in \varGamma$，$X_\alpha$是$(X, \mathscr{T}_X)$的开集；
(b)$\varGamma$是有限集，且对任意的$\alpha \in \varGamma$，$X_\alpha$是$(X, \mathscr{T}_X)$的闭集.

证明

任取$x \in X$，则存在${\alpha}_0 \in \varGamma$，使得$x \in \varGamma$，令$f(x)=f_{ \alpha_0 }(x)$. 如果存在$\alpha$、$\beta \in \varGamma$，使得$x \in X_\alpha \bigcap X_\beta$，由于$f_\alpha(x)=f_\beta(x)$，所以$f$的定义是确切的，我们确实定义了唯一的$f:X \rightarrow Y$.
(a)任取$V \in \mathscr{T}_Y$，则对任意的$\alpha \in \varGamma$，$f_{\alpha}^{-1}(V)$为$X_{\alpha}$的开集，而$X_\alpha \in \mathscr{T}_X$，故$f_{\alpha}^{-1}(V) \in \mathscr{T}_X$，从而

$$f^{-1}(V)=f^{-1}(V) \bigcap X=f^{-1}(V) \bigcap (\bigcup_{\alpha \in \varGamma} X_\alpha)$$
$$=\bigcup_{\alpha \in \varGamma}(f^{-1}(V) \bigcap X_\alpha)$$
$$=\bigcup_{\alpha \in \varGamma} f_{\alpha}^{-1}(V)$$
是$(X, \mathscr{T}_X)$的开集. 所以连续.
(b)