向量场中的几个恒等式

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于 2023-11-29 18:45:53 首次发布

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本文介绍了向量场中的几个重要恒等式，如散度与旋度的关系、标量梯度的旋度为零以及向量叉积的性质。这些公式在电磁学中有着重要应用，如磁场的无源性和电场的无旋性。

向量场中的几个恒等式

1. $∇2A⃗=∇(∇⋅A⃗)−∇×∇×A⃗\nabla ^2 \vec A =\nabla (\nabla\cdot \vec A)-\nabla \times\nabla\times \vec A$

$∇=i∂∂x+j∂∂y+k∂∂z\nabla = i\frac{\partial}{\partial x} + j\frac{\partial}{\partial y} + k\frac{\partial}{\partial z}$ 是个矢量算子, $∇2=∇⋅∇=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2\nabla ^2 = \nabla \cdot \nabla =\frac{\partial ^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$ 是个标量算子，又称拉普拉斯算子.

2. $∇⋅∇×A⃗=0\nabla \cdot \nabla \times \vec A = 0$

两向量的叉积得到的向量与这两个向量都正交. 即 $A⃗×B⃗\vec A \times \vec B$ 与向量 $A⃗\vec A$ 正交，与向量 $B⃗\vec B$ 正交.

上式中，算子 $∇\nabla$ 是向量，因此成立.

上式说明，任一矢量的旋度的散度为0，即矢量场的旋度场为无源场. 如矢量位场 $A⃗\vec A$ 的旋度场为磁场 $B⃗=∇⋅A⃗\vec B = \nabla \cdot \vec A$ ，磁场是无源场， $∇⋅B⃗=0\nabla \cdot \vec B = 0$ . 不存在磁荷，磁场的磁力线是无头无尾的闭合曲线.

3. $∇×∇ϕ=0\nabla \times \nabla \phi=0$

标量的梯度的旋度为0，即标量场的梯度场是无旋场. 如电位场是标量场，其负梯度场是电场强度场 $E⃗=−∇φ\vec E = -\nabla \varphi$ ，电场强度场 $E⃗\vec E$ 是无旋场，电场强度沿着任一闭合曲线的线积分为0. 即 $∮lE⃗dl⃗=0\oint_l \vec E d\vec l=0$ ，微分形式为 $∇×E⃗=0\nabla \times \vec E =0$ .

4. $A⃗×(B⃗×C⃗)=(A⃗⋅C⃗)B⃗−(A⃗⋅B⃗)C⃗\vec A \times (\vec B \times \vec C)=(\vec A \cdot \vec C) \vec B-(\vec A \cdot \vec B) \vec C$

若 $A⃗\vec A$ 与 $B⃗\vec B$ 正交,则有 $A⃗⋅B⃗=0\vec A \cdot \vec B = 0$ , 可得到： $A⃗×(B⃗×C⃗)=(A⃗⋅C⃗)B⃗\vec A \times (\vec B \times \vec C)=(\vec A \cdot \vec C) \vec B$