30、流形中的切空间、向量场与微分形式

流形中的切空间、向量场与微分形式

1. 切向量与切空间的定义

在流形 (M) 中，我们考虑曲线 (\gamma: \mathbb{R} \to M)，且 (\gamma(0) = p)。曲线 (\gamma) 的等价类记为 ([\gamma])。从在 (\mathbb{R}^3) 中处理曲面的经验可知，新抽象定义的切向量集合应构成一个线性空间。但由于 (M) 本身不是线性空间，对于两条曲线 (\gamma_1(t)) 和 (\gamma_2(t)) 以及实数 (a \in \mathbb{R})，(\gamma_1(t) + \gamma_2(t)) 和 (a\gamma_1(t)) 在 (M) 上没有定义。我们可以利用局部坐标来解决这个问题。

切空间的定义如下：设 ([\gamma], [\lambda], [\gamma_1], [\gamma_2]) 是流形 (M) 上点 (p) 处的切向量。假设在某个坐标邻域内，(\gamma(t), \lambda(t), \gamma_1(t), \gamma_2(t)) 分别具有坐标 (x(t), y(t), x_1(t), x_2(t) \in \mathbb{R}^n)。若在该邻域内，(\frac{d}{dt}x(t)| {t = 0} = \frac{d}{dt}(x_1(t) + x_2(t))| {t = 0})，则定义 ([\gamma] \stackrel{\text{def}}{=} [\gamma_1] + [\gamma_2])；若对于实数 (a \in \mathbb{R})，(\frac{d}{dt}x(t)| {t = 0} = a\frac{d}{dt}y(t)| {t = 0})