一个组合恒等式的证明

前言

昨天上组合数学，老师列出一个公式，大家都不会证明。然后一个很dark的学弟说要用二项式反演，看着就晕。后来我终于找到了简单的证明方法。

求证：

$$\frac{n \choose 1}{1} - \frac{n \choose 2}{2} + \frac{n \choose 3}{3} + ...... + (-1)^{n-1} \frac{n \choose n}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ...... + \frac{1}{n}$$

证明：

设

$$P(n): \frac{n \choose 1}{1} - \frac{n \choose 2}{2} + \frac{n \choose 3}{3} + ...... + (-1)^{n-1} \frac{n \choose n}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ...... + \frac{1}{n}$$
当 $n=1$时， $\frac{1 \choose 1}{1} = 1$，