12、基于平均欧氏距离的不完整数据集K-Means聚类

基于平均欧氏距离的不完整数据集K-Means聚类

在数据处理和分析领域，不完整数据集的聚类是一个具有挑战性的问题。传统的聚类算法，如K-Means，在处理包含缺失值的数据时往往会遇到困难。本文将介绍一种基于平均欧氏距离（MDE）来处理不完整数据集的K-Means聚类方法。

1. 不完整数据距离度量

当处理可能包含缺失值的点对之间的距离时，我们需要一种特殊的度量方法。假设有一个点集 $A \subseteq R^K$，对于第 $i$ 个属性 $A_i$，其条件概率将根据 $A$ 中该属性的已知值来计算（即 $P(A_i) \sim \chi_i$），其中 $\chi_i$ 是第 $i$ 个坐标的分布。

给定 $A$ 中的两个样本点 $X$ 和 $Y$，目标是计算它们之间的距离。设 $x_i$ 和 $y_i$ 分别是点 $X$ 和 $Y$ 的第 $i$ 个坐标值，有以下三种可能情况：
1. 两个值都已知 ：当 $x_i$ 和 $y_i$ 的值都已知时，它们之间的距离定义为欧氏距离：
- $D_E(x_i, y_i) = (x_i - y_i)^2$。
2. 一个值缺失 ：假设 $x_i$ 缺失而 $y_i$ 已知。由于 $x_i$ 的值未知，无法直接计算欧氏距离。我们将距离建模为从其属性分布 $\chi_i$ 中随机选择一个点并计算其距离，该计算的期望即为我们所求的距离。平均欧氏距离（MDE）近似为：
- $MDE(m_i, y_i) = E[(x - y_i)^2] = \int p(x)(x - y_i)^2dx = (y_i - \mu_i)^2 + (\sigm