20、平面曲线相交与Thrackle图边数的研究

平面曲线相交与Thrackle图边数的研究

平面曲线相交问题

基本概念

在平面曲线的研究中，我们会遇到曲线的“接触”和“交叉”这两个重要概念。给定平面上的 (n) 条连续开放曲线，若两条曲线只有一个内部公共点，且在该点处第一条曲线未从第二条曲线的一侧穿到另一侧，则称这两条曲线为“接触”；若两条曲线相交且不满足接触条件，则称它们为“交叉”。设 (t) 为接触对的数量，(c) 为交叉对的数量。

相关定理及构造

有这样一个构造：设 (n) 为偶数，(t) 是 (n) 的倍数，且 (n \leq t < \frac{n^2}{4})。考虑集合 (A) 包含 (n - \frac{2t}{n} > \frac{n}{2}) 条两两不相交的曲线，集合 (B) 包含 (\frac{2t}{n}) 条曲线，满足：
1. (A \cup B) 处于一般位置，即任意两条曲线相交于有限个点，且没有三条曲线通过同一点。
2. (B) 中的每条曲线恰好与 (A) 中的 (\frac{n}{2}) 条曲线接触。
3. (B) 中任意两条曲线不接触。

在这个构造中，(A \cup B) 共有 (n) 条曲线，接触对的数量为 (t)，而可能交叉的曲线对仅存在于 (B) 中，交叉对的数量最多为 (\binom{\frac{2t}{n}}{2} \leq \frac{2t^2}{n^2})。

定理内容

定理表明：对于平面上处于一般位置的 (n) 条曲线，若确定了 (t) 个接触对和 (c) 个交叉对，当 (t \geq 10n) 时，有 (c \geq \frac{1}{105} \frac{t^2}{