21、图绘制中的Thrackle与正交绘图模型研究

图绘制中的Thrackle与正交绘图模型研究

1. Thrackle相关定理证明

在图论中，Thrackle是一类特殊的图。我们先来看关于Thrackle的一些重要定理及证明。

1.1 相关引理与推论

• 推论1 ：一个图G是广义Thrackle当且仅当G在射影平面上允许奇偶嵌入。特别地，任何二分Thrackle都可以嵌入到欧几里得平面中。
  • 证明：如果G是非二分广义Thrackle，根据Cairns和Nikolayevsky的结果，它在射影平面上允许奇偶嵌入。另一方面，Lovász等人表明，二分图是广义Thrackle当且仅当它是平面图，此时它可以嵌入到射影平面中，使得每个循环都是双侧的。
• 引理1 ：Thrackle不包含多于一个的三角形。此引理证明较简单，在此省略。

1.2 无三角形图的边数上限证明

• 引理2 ：任何具有n > 3个顶点的无三角形Thrackle最多有1.3984(n - 1)条边。
  • 证明步骤如下：
    1. 由于没有4 - 循环可以画成Thrackle，所以对于少于5个顶点的图，引理成立。
    2. 假设引理的最小反例图G是2 - 连通的。若G = G1 ∪ G2，其中|V(G1) ∩ V(G2)| < 2 ≤ |V(G1)|, |V(G2)|，设|V(G1)| = n′，由G的选择可知|