5、顶点和空层邻近图绘制研究

顶点和空层邻近图绘制研究

1. 引言

在图绘制领域，顶点 - 层和空层邻近图绘制是重要的研究方向。空层绘制是指图的每个顶点的层盘（ply - disk）内没有其他顶点。本文将探讨不同类型图的空层绘制情况，包括完全图、完全二部图、有界度树和图的平方等，并分析平面图绘制中层数和顶点层数的相关问题。

2. 不同类型图的空层绘制

2.1 完全图

• 定理 ：图 $K_n$ 存在空层绘制当且仅当 $n \leq 7$。
• 证明思路 ：假设 $K_8$ 有空层绘制 $\Gamma$，设其最长边为 $(x_1, x_2)$，长度为 2，且 $x_1$ 和 $x_2$ 在水平直线 $l$ 上。其余六个顶点位于以 $x_1$ 和 $x_2$ 为圆心、半径为 2 的两圆盘交集内，且在以 $x_1$ 和 $x_2$ 为圆心、半径为 1 的两圆盘外。用半径为 $\sqrt{2}$ 的两个圆将这两个区域各划分为四个子区域 $A^+$、$B^+$、$C^+$、$D^+$ 和 $A^-$、$B^-$、$C^-$、$D^-$。通过分析各区域顶点放置情况得出矛盾，而 $K_7$ 存在空层绘制，且该绘制可能唯一。

graph LR
    A[假设K8有空层绘制Γ] --> B[确定最长边(x1, x2)]
    B --> C[确定其余顶点位置范围]
    C --> D[划分区域]
    D --> E[分析各区域顶点放置矛盾]
    E --> F[得出K8