13、贝叶斯规则与函数曲线：概率与机器学习的关键概念

贝叶斯规则与函数曲线：概率与机器学习的关键概念

1. 贝叶斯规则与多假设检验

在概率领域，当观察结果与先验一致时，我们对先验的信心会增强；反之，信心则会降低。并且在只有两种选择的情况下，一个选项概率降低，另一个选项的概率就会增加。即使只有少量观察结果，我们也能较早地获得较高的置信度。

1.1 多假设的运用

我们不仅可以用贝叶斯规则检验单个假设，还能同时检验多个假设。例如，同时更新“这枚硬币是公平的”和“这枚硬币是有偏的”这两个假设。
- 若抛硬币结果为正面，可独立计算得到公平硬币的条件概率 (P(F|H)) 和有偏硬币的条件概率 (P(R|H))，计算公式如下：
- (P(F|H)=\frac{P(F)P(H|F)}{P(H)})
- (P(R|H)=\frac{P(R)P(H|R)}{P(H)})
- (P(H)=P(F)P(H|F)+P(R)P(H|R))

1.2 考古学家的问题

一位考古学家发现了装有新游戏硬币的箱子，她想知道每枚硬币的偏差。假设只有五个可能的偏差值：0、0.25、0.5、0.75 和 1，我们可以创建五个假设：
| 假设编号 | 假设内容 |
| ---- | ---- |
| 0 | 这是偏差为 0 的硬币 |
| 1 | 这是偏差为 0.25 的硬币 |
| 2 | 这是偏差为 0.5 的硬币 |
| 3 | 这是偏差为 0.75 的硬币 |
| 4 | 这是偏差为 1 的硬币 |

为了开始检验，我们需要为每个假设设定先验概率。由于一开始对所选硬币一无所知，我们可以假设每个假设