13、贝叶斯规则与曲线表面相关知识解析

贝叶斯规则与曲线表面相关知识解析

1. 贝叶斯规则基础

在概率领域，当我们对某个假设（如“我们有一枚公平的硬币”）有先验信心时，如果观察结果支持该先验，我们对它的信心就会增强；若观察结果与先验矛盾，信心则会降低。由于在某些场景中只有另一种替代假设（如“我们有一枚作弊的硬币”），那么该替代假设就会变得更有可能。即使只有少量观察结果，我们通常也能在早期获得相当大的信心。

2. 多假设检验

我们可以使用贝叶斯规则结合观察结果来改进假设，而且并不局限于检验单个假设。例如，在判断硬币是否公平的问题中，我们可以同时考虑“这枚硬币是公平的”和“这枚硬币是作弊的”这两个假设。

假设抛硬币结果为正面，我们可以独立计算有公平硬币的条件概率 (P(F|H)) 和有作弊硬币的条件概率 (P(R|H))，计算公式如下：
- (P(F|H)=\frac{P(F)P(H|F)}{P(H)})
- (P(R|H)=\frac{P(R)P(H|R)}{P(H)})
- (P(H) = P(F)P(H|F)+P(R)P(H|R))

这里 (P(F)) 是有公平硬币的先验概率，(P(R)) 是有作弊硬币的先验概率，(P(H|F)) 是在有公平硬币的情况下抛出正面的概率，(P(H|R)) 是在有作弊硬币的情况下抛出正面的概率。

3. 考古学家问题实例

一位考古学家发现了一个装有新游戏硬币的箱子，这些硬币有不同的偏差。为了找出每枚硬币的偏差，我们假设只有五个可能的偏差值：0、0.25、0.5、0.75 和 1（偏差 0.5 对应公平硬币），并创建五个假设：
| 假设编号 | 假设内容 |