二阶矩阵求逆的口诀及其应用
矩阵求逆有很多应用
,
是高等代数中的重要内容
,
通常有两个方法
:
伴随矩阵法与
初等变换法
.
例
1.
求
A
=
5
4
0
3
2
0
0
0
3
的逆矩阵
.
解一
(
伴随矩阵法
)
先求
A
的行列式
:
|
A
|=
5
4
0
3
2
0
0
0
3
=3
5
4
3
2
=3(-10+12)=6
≠
0.
再求
A
的代数余子式
:
A
11
=
5
4
3
2
=2,
A
5
0
3
0
12
=0,
A
4
0
2
0
13
=0,
A
5
4
0
0
21
=0,
A
5
0
0
3
22
=-15,
A
4
0
0
3
23
=-12,
A
3
2
0
0
31
=0,
A
3
0
0
3
32
=9,
A
2
0
0
3
33
=6.
于是可求得
A
1
2
0
0
0
0
6
12
0
9
15
0
0
0
2
6
1
1
2
3
2
5
3
1
33
23
13
32
22
12
23
21
11
1
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
.
解二
(
初等变换法
)
将
AE
初等变换为
1
EA
,
即可求得
A
的逆
:
1
2
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
5
4
0
3
2
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
5
4
0
3
2
0
0
0
3
2
3
2
5
3
1
2
1
3
1
2
3
3
1
AE
∴
A
1
2
0
0
0
0
2
3
2
5
3
1
1
.
显然
,
这两种方法都很繁
.
而二阶矩阵求逆在多次应用伴随矩阵法后
,
我们可以发现
并归纳出如下口诀
:
二阶矩阵求逆
,
主对角线对调
,
副对角线变号
,
行列式除记牢
.
即
:
若
a
c
b
d
A
A
d
c
b
a
A
1
,
1
则
.
例如
:
1
2
2
4
3
5
2
1
5
4
3
2
2
3
2
5
1
.
应用这口诀于对角分块矩阵上去
,
可以简化某些高阶矩阵求逆
.
∵
1
1
1
1
1
0
0
0
0
n
n
A
A
A
A
.(
参见北京大学《高等代数》
P180-182),
二阶矩阵求逆的口诀及其应用
矩阵求逆有很多应用
,
是高等代数中的重要内容
,
通常有两个方法
:
伴随矩阵法与
初等变换法
.
例
1.
求
A
=
5
4
0
3
2
0
0
0
3
的逆矩阵
.
解一
(
伴随矩阵法
)
先求
A
的行列式
:
|
A
|=
5
4
0
3
2
0
0
0
3
=3
5
4
3
2
=3(-10+12)=6
≠
0.
再求
A
的代数余子式
:
A
11
=
5
4
3
2
=2,
A
5
0
3
0
12
=0,
A
4
0
2
0
13
=0,
A
5
4
0
0
21
=0,
A
5
0
0
3
22
=-15,
A
4
0
0
3
23
=-12,
A
3
2
0
0
31
=0,
A
3
0
0
3
32
=9,
A
2
0
0
3
33
=6.
于是可求得
A
1
2
0
0
0
0
6
12
0
9
15
0
0
0
2
6
1
1
2
3
2
5
3
1
33
23
13
32
22
12
23
21
11
1
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
.
解二
(
初等变换法
)
将
AE
初等变换为
1
EA
,
即可求得
A
的逆
:
1
2
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
5
4
0
3
2
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
5
4
0
3
2
0
0
0
3
2
3
2
5
3
1
2
1
3
1
2
3
3
1
AE
∴
A
1
2
0
0
0
0
2
3
2
5
3
1
1
.
显然
,
这两种方法都很繁
.
而二阶矩阵求逆在多次应用伴随矩阵法后
,
我们可以发现
并归纳出如下口诀
:
二阶矩阵求逆
,
主对角线对调
,
副对角线变号
,
行列式除记牢
.
即
:
若
a
c
b
d
A
A
d
c
b
a
A
1
,
1
则
.
例如
:
1
2
2
4
3
5
2
1
5
4
3
2
2
3
2
5
1
.
应用这口诀于对角分块矩阵上去
,
可以简化某些高阶矩阵求逆
.
∵
1
1
1
1
1
0
0
0
0
n
n
A
A
A
A
.(
参见北京大学《高等代数》
P180-182),
4.4 三阶矩阵求逆公式
高阶矩阵的求逆算法主要有归一法和消元法两种，现将三阶矩阵求逆公式总结如下：
若矩阵
可逆，即
时，
(4-14)
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