[学习] 矩阵求逆常用算法（含实现代码）

矩阵求逆常用算法

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引言

矩阵求逆是求解线性方程组 $Ax=b$ 的核心操作，在优化问题（如牛顿法）、统计建模（协方差矩阵求逆）及控制系统设计中广泛用。本文系统梳理六大类算法，从数学原理到代码实现，并给出场景选择指南。

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1 矩阵求逆的基本概念

数学条件：矩阵 $A$ 可逆当且仅当：

• $\text{rank}(A)=n$（满秩）
• $\det (A)\ne 0$
• $A$ 的行/列向量线性无关

核心性质：

1. $(A^{-1}{)}^{-1}=A$
2. $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
3. $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

实际意义：若 $A$ 可逆，则方程组 $Ax=b$ 有唯一解 $x=A^{-1}b$。

import numpy as np

# 基本测试案例
A = np.array([[2, 1], [1, 3]])
A_inv_gt = np.linalg.inv(A)  # 标准解用于验证
print("标准逆矩阵:\n", A_inv_gt)

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2 高斯-约旦消元法（Gauss-Jordan Elimination）

原理：通过初等行变换将 $[A|I]$ 转化为 $[I|A^{-1}]$。

推导步骤：

1. 构造增广矩阵 $M=[A\mid I_n]$
2. 前向消元：对 $k=0$ 到 $n-1$：
   • 选主元 $m_{kk}$（避免除零，增强稳定性）
   • 对 $i=k+1$ 到 $n$：
     $${\text{row}}_i\leftarrow {\text{row}}_i-\frac{m_{ik}}{m_{kk}}\times {\text{row}}_k$$
3. 后向消元：对 $k=n-1$ 到 $0$：
   • ${\text{row}}_k\leftarrow \frac{{\text{row}}_k}{m_{kk}}$
   • 对 $i=0$ 到 $k-1$：
     row i ← row i −