所有特征值大于零的矩阵一定是正定阵吗？

事实上，当我们谈论（半）正定阵，都要求矩阵是对称的。

尽管正定矩阵的定义并没有这一要求，如正定阵的定义：$$M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有z^{T}Mz>0，就称M为正定矩阵。$$并且我们有一些判定矩阵正定的条件，如：

• 所有特征值大于零
• 各阶主子式大于零
• 等等

需要注意的是，这些条件都是针对对称阵的！

举个简单的例子：$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 2\end{array}\right]$$
A 的特征值为1和2，各阶主子式也大于零。但是取 $x=[1-1{]}^T$，$${x}^{T}Ax=[1-1]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]=-1<0,$$说明 A 不是正定阵。另一个例子：
$$B=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 1\end{array}\right]$$B是正定的，但其特征值为复数。