蒙特卡洛方法

蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是指使用随机数（或伪随机数）来解决计算问题的方法.

求定积分

求已知函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内的定积分：${\int }_a^{b}f(x)\text{d}x$.

当然现在有很多数值积分方法可用，像欧拉积分、4阶龙哥库塔积分等. 但这里介绍一下用蒙特卡洛方法来求积分.

积分可以转换成求期望的形式：
$${\int }_a^{b}f(x)\text{d}x={\int }_a^b\frac{f(x)}{g(x)}g(x)\text{d}x=E_{x\sim g(x)}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]$$

这里假设 $g(x)$ 是区间 $[a,b]$ 上的概率密度函数，我们可以在该分布下采样得到 $x_i,i=1,\dots ,N$. 因此

$$E_{x\sim g(x)}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]\simeq \frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\frac{f(x_i)}{g(x_i)}$$

通常，我们考虑 $g(x)$ 为简单的均匀分布，即
$$g(x)=\frac{1}{b-a}$$
所以用区间 $[a,b]$ 均匀分布的随机数 $x_i$ 来求积分的方法为：
$${\int }_a^{b}f(x)\text{d}x\simeq \frac{b-a}{N}\sum _{i=1}^{N}f(x_i)$$

用随机数求圆周率

一个典型的例子是用蒙特卡洛方法求圆周率 $\pi$.

$\pi$ 等于单位元的面积，可以视为如下函数 $f$ 在区间 $[-1,1]\times [-1,1]$ 上的定积分：
$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& x^2+y^2<1,\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$$

所以只需要在区间 $[-1,1]\times [-1,1]$ 上随机取点 $(x_i,y_i)$，并计算其函数值 $f(x_i,y_i)$.

需要注意这里的均匀分布函数为：
$$g(x,y)=\frac{1}{4}$$

最后求得：
$$\pi \simeq \frac{4}{N}\sum _{i=1}^{N}f(x_i,y_i)$$