16、抽象信道的组合细化与信息泄露排序

抽象信道的组合细化与信息泄露排序

在信息论和信道分析领域，我们常常关注如何对不同信道的信息泄露情况进行评估和比较。本文将深入探讨从分区细化到组合细化的推广，以及组合细化与信息泄露排序之间的关系。

1. 从分区细化到组合细化

在研究中，我们试图将确定性信道的分区细化概念推广到概率信道。在确定性情况下，若能通过“后处理”步骤（即将B的某些输出合并）从B转换到A，就意味着A的分区被B细化。具体来说，A可以表示为B和一个信道Rmerge的级联，即A是B和Rmerge的矩阵乘积。

基于此，我们给出组合细化的定义：对于信道A和B，当存在一个信道R使得A = BR时，我们称A被B组合细化，记作A ⊑◦B。

组合细化关系具有自反性（因为C = CI）和传递性（若A = BR1且B = CR2，则A = C(R2R1)），所以它是一个预序。但它不具有反对称性，例如在示例中，C ⊑◦D且D ⊑◦C。不过，当限制为抽象信道时，组合细化成为一个真正的偏序。

2. 抽象信道的Jensen不等式

Jensen不等式在证明相关定理中起着关键作用。设A和B是抽象信道，F是从X上的分布到实数的凹函数。若A = BR，对于任何全支撑先验π，有F(π, A) ≥ F(π, B)。若A ≠ B且F是严格凹函数，则不等式严格成立。

证明过程依赖于经典的Jensen不等式。通过矩阵运算和相关性质，我们逐步推导得出结论。具体步骤如下：
1. 利用矩阵乘法的性质，将F(π, A)进行展开和变形。
2. 证明组合系数满足Jensen不等式的条件。
3. 对于严格凹函数的情况，通过分析矩阵R的性质，找到满足严格Jens