9、概率知识全解析：从基础到高级应用

概率知识全解析：从基础到高级应用

1. 基础概率概念

在概率的世界里，我们常常会遇到各种复杂的情况。以癌症检测为例，假设我们有100个人参与研究，其中有人患有癌症，有人检测结果为阳性。这里定义事件A为有人患有癌症，事件B为检测结果为阳性，那么P(A or B) = 35/100 = 0.35 = 35%。

参与研究的人可以分为以下四类：
- 粉色区域：患有癌症但检测结果为阴性的人。
- 紫色区域（A intersect B）：患有癌症且检测结果为阳性的人。
- 蓝色区域：未患癌症但检测结果为阳性的人。
- 白色区域：未患癌症且检测结果为阴性的人。

只有白色和紫色区域的检测结果是准确的，而蓝色和粉色区域的检测结果是错误的。

1.1 条件概率

从这100人的研究中随机选一个人，假设已知其检测结果为阳性，也就是事件B已经发生，那么此时这个人患有癌症的概率P(A)是多少呢？这就是条件概率P(A|B)，即已知另一个事件B发生的情况下，事件A发生的概率。可以把条件概率理解为改变了相关的“宇宙”，现在整个“宇宙”就是B，我们关心的是B中A和B同时发生的部分。在这个例子中，如果检测结果为阳性，这个人患有癌症的概率是66%，这也是实验者最关心的概率，它能反映出检测在预测癌症方面的准确性。

1.2 概率规则的运用

当可视化变得过于繁琐时，概率中的一些规则就非常有用了，它们能帮助我们轻松计算复合概率。
- 加法规则 ：用于计算“或”事件的概率。计算P(A ∪ B) 或P(A or B)时，使用公式P(A ∪ B) = P(A)