85、通信网络中的树打包与自私任务调度问题研究

通信网络中的树打包与自私任务调度问题研究

1. 树打包问题

1.1 最小斯坦纳树问题

最小斯坦纳树问题是 APX - 困难的，这意味着传统的近似算法可能并不适用。为了找到可行的（整数）解决方案，采用了随机舍入法。为了保证不违反任何约束的概率不为零，需要使用缩放技术。设 $c$ 为最小边容量，假设存在一个标量 $v$ 满足 $(ve^{1 - v})c < 1/(m + 1)$，可以得到关于斯坦纳树打包问题的近似算法的目标值下界。

1.2 分数打包问题

对于分数打包问题，通过应用近似算法，每次迭代只需为 $K$ 个请求生成 $K$ 个近似最小斯坦纳树，总共生成的斯坦纳树数量为 $O((m + K)Kε^{-2} \ln(m + K))$，克服了由于指数数量变量带来的困难。

1.3 整数性

分数打包问题 (2) 的解具有整数性 $w$，即解的每个分量都是 $w$ 的非负整数倍。在第 $k$ 次迭代中，调用近似块求解器后，$x$ 和 $y$ 的增量分别为 $x_k(q) = x_{k - 1}(q) + w$ 和 $y_k(i) = y_{k - 1}(i){1 + δ[w]/[b(i)/A(i, q)]}$。
- 定理 5 ：如果在分数打包问题 (2) 中 $w ≤ \min_{i,j} b_i/A_{i,j}$，则存在一个算法，能在 $O(mε^{-2}ρ \ln m)$ 次迭代内找到问题 (2) 的 $(1 - ε)/r$ 近似解，且整数性为 $wδ/(1 + \log_{1 + δ} m)$，其中 $ρ = \max_{i,j} b_i/A_{i,j}$。
- 推论 1 ：如果对于所有的 $i$ 和 $j$，$b_i/A_{i,j} ≥ (1 + \log_{1 + δ} m)/δ$，则存在一个算法，能在 $O(mε^{-2}ρ \ln m)$ 次迭代内找到整数打包问题的 $(1 - ε)/r$ 近似解。
- 推论 2 ：如果所有边容量至少为 $(1 + \log_{1 + δ}(m + K))/δ$，则存在一个算法，能在 $O((m + K)Kε^{-2}c_{max}β \ln(m + K))$ 时间内找到斯坦纳树打包问题 (1) 的 $(1 - ε)/r$ 近似整数解，其中 $r$ 和 $β$ 分别是作为神谕调用的最小斯坦纳树求解器的近似比和复杂度，$c_{max}$ 是最大边容量。

1.4 多播路由和波长分配问题

在光网络的多播路由和波长分配问题中，给定一个无向图 $G = (V, E)$、一组多播请求 $S_1, \ldots, S_K ⊆ V$ 和一组波长 $L = {1, \ldots, L}$。目标是找到具有最大总利润/吞吐量的路由树，使得每个选定的请求由斯坦纳树实现并分配一个给定的波长，并且穿过同一光纤的树分配不同的波长。该问题的整数线性规划 (ILP) 如下：
[
\begin{align }
\max &\sum_{k = 1}^{K} w_k \sum_{l = 1}^{L} \sum_{T \in T_k} x_k(T, l) \
\text{s.t.} &\sum_{k = 1}^{K} \sum_{T \in T_k, e_i \in T} x_k(T, l) ≤ c_{i,l}, \quad \forall e_i \in E, l \in L \
&\sum_{l = 1}^{L} \sum_{T \in T_k} x_k(T, l) ≤ 1, \quad k = 1, \ldots, K \
&x_k(T, l) \in {0, 1}, \quad \forall T, l \in L, k = 1, \ldots, K
\end{align }
]
- 定理 6 ：对于光网络中的分数多播路由和波长分配问题，存在一个 $(1 - ε)/r$ 近似算法，复杂度为 $O((mL + K)KLε^{-2}β \ln(mL + K))$，其中 $r$ 和 $β$ 分别是作为神谕调用的最小斯坦纳树求解器的近似比和复杂度。
- 定理 7 ：对于光网络中的多播路由和波长分配问题，存在一个近似算法，其目标值的下界与定理 4 相同，其中 $OPT$ 是问题 (4) 的最优目标值。
- 定理 8 ：如果所有边容量至少为 $(1 + \log_{1 + δ}(mL + K))/δ$，则存在一个算法，能在 $O((mL + K)LKε^{-2}c_{max}β \ln(mL + K))$ 时间内找到光网络中多播路由和波长分配问题 (4) 的 $(1 - ε)/r$ 近似整数解，其中 $r$ 和 $β$ 分别是作为神谕调用的最小斯坦纳树求解器的近似比和复杂度，$c_{max}$ 是最大容量。

1.5 树打包问题总结

提出了伪多项式时间近似算法来解决整数打包问题，该方法可以直接得到整数解并避免舍入阶段，在实际应用中可能会有高效的表现。

2. 自私任务调度问题

2.1 问题背景

互联网是一个复杂的分布式系统，许多实体希望最大化自己的利润。在调度自私任务（或代理）到并行相同机器以最小化最大完工时间的问题中，传统的最短处理时间 (SPT) 机制按任务长度递增顺序调度任务，能得到 $(2 - 1/m)$ 近似调度，其中 $m$ 是机器数量。核心问题是是否存在其他具有更好近似保证（无政府代价）的真实机制。

2.2 机制设计

2.2.1 集中式机制

在自私任务分配模型中，给出了一个集中式算法，即使任务长度的值不受限制，该算法也是真实的，并且预期近似比为 $2 - \frac{1}{m + 1}(\frac{5}{3} + \frac{1}{3}m)$，小于 SPT 调度的近似比。例如，当 $m = 2$ 时，其近似比小于 1.39，而 SPT 调度为 1.5。

2.2.2 协调机制

对于两台机器的情况，研究了一种协调机制：第一台机器总是按任务长度递增顺序调度任务，第二台机器以概率 $p > \frac{2}{3}$ 按任务长度递增顺序调度任务，以概率 $(1 - p)$ 按任务长度递减顺序调度任务。该（随机）协调机制的预期近似比为 $\frac{4}{3} + \frac{p}{6}$，优于 SPT 机制的 $\frac{3}{2}$。该协调机制在任务长度是大于或等于 $\frac{4 - 3p}{2 - p}$ 的常数的幂时是真实的，但在任务长度值不受限制时不是真实的。此外，如果 $p < \frac{1}{2}$，即使任务长度是大于 1 的任何整数的幂，该协调机制也不是真实的。

2.3 相关工作

调度自私代理的问题近年来得到了广泛研究，但以往的工作中自私代理通常是机器，而这里考虑的是任务作为代理。与 Christodoulou 等人的工作最相关，他们提出了不同的协调机制，无政府代价优于 SPT 机制，但这些机制不是真实的。

2.4 总结

提出了集中式和分布式设置下的（随机）真实机制，改进了 SPT 机制的（预期）近似保证（无政府代价）。集中式机制适用于任意数量的机器和任意调度长度，而协调机制仅适用于两台机器和特定长度的任务。

3. 研究展望

未来的研究方向包括开发具有其他属性的分数/整数打包问题的近似算法，从实际角度出发，开发更现实的通信网络路由问题模型，并设计高效的（近似）解决策略。同时，将分数打包问题的近似算法应用于 VLSI 设计中的全局路由问题，并通过具有挑战性的基准测试来实现近似算法，以探索其在计算实践中的能力。

3.1 流程图

graph TD;
    A[开始] --> B[树打包问题];
    B --> C[最小斯坦纳树问题];
    B --> D[分数打包问题];
    B --> E[整数性];
    B --> F[多播路由和波长分配问题];
    A --> G[自私任务调度问题];
    G --> H[集中式机制];
    G --> I[协调机制];
    G --> J[相关工作];
    C --> K[随机舍入法];
    D --> L[近似算法];
    E --> M[定理和推论];
    F --> N[整数线性规划];
    H --> O[集中式算法];
    I --> P[协调机制设计];
    J --> Q[以往研究对比];
    K --> R[目标值下界];
    L --> S[克服变量困难];
    M --> T[整数解];
    N --> U[近似算法];
    O --> V[预期近似比];
    P --> W[近似比和真实性];
    R --> X[树打包问题总结];
    S --> X;
    T --> X;
    U --> X;
    V --> Y[自私任务调度问题总结];
    W --> Y;
    Q --> Y;
    X --> Z[研究展望];
    Y --> Z;
    Z --> AA[近似算法开发];
    Z --> AB[实际模型设计];
    Z --> AC[算法应用和测试];

3.2 表格总结

问题类型	机制/方法	特点	复杂度	近似比
树打包问题	随机舍入法	解决最小斯坦纳树问题，保证不违反约束	-	-
树打包问题	分数打包近似算法	克服指数数量变量困难	$O((m + K)Kε^{-2} \ln(m + K))$	-
树打包问题	整数性算法	得到具有整数性的解	$O(mε^{-2}ρ \ln m)$	$(1 - ε)/r$
树打包问题	多播路由和波长分配算法	解决光网络中的路由和波长分配问题	$O((mL + K)LKε^{-2}c_{max}β \ln(mL + K))$	$(1 - ε)/r$
自私任务调度问题	集中式算法	适用于任意数量机器和任意长度任务	-	$2 - \frac{1}{m + 1}(\frac{5}{3} + \frac{1}{3}m)$
自私任务调度问题	协调机制	适用于两台机器，特定长度任务	-	$\frac{4}{3} + \frac{p}{6}$

4. 技术细节深入分析

4.1 树打包问题技术细节

4.1.1 随机舍入法

随机舍入法是解决最小斯坦纳树问题的关键。由于该问题是 APX - 困难的，传统近似算法不适用。随机舍入法引入缩放技术，通过设最小边容量为 $c$，找到满足 $(ve^{1 - v})c < 1/(m + 1)$ 的标量 $v$，从而保证不违反任何约束的概率不为零。具体操作步骤如下：
1. 确定最小边容量 $c$。
2. 寻找满足条件的标量 $v$。
3. 基于 $v$ 进行随机舍入操作，以找到可行的整数解。

4.1.2 分数打包近似算法

分数打包近似算法通过每次迭代为 $K$ 个请求生成 $K$ 个近似最小斯坦纳树，克服了指数数量变量的困难。其流程如下：
1. 初始化当前对偶向量。
2. 在每次迭代中，根据当前对偶向量为 $K$ 个请求生成 $K$ 个近似最小斯坦纳树。
3. 重复步骤 2，直到满足终止条件，总共生成 $O((m + K)Kε^{-2} \ln(m + K))$ 个斯坦纳树。

4.1.3 整数性算法

整数性算法在分数打包问题中，通过特定的增量更新 $x$ 和 $y$ 的值。在第 $k$ 次迭代中，$x$ 和 $y$ 的增量分别为 $x_k(q) = x_{k - 1}(q) + w$ 和 $y_k(i) = y_{k - 1}(i){1 + δ[w]/[b(i)/A(i, q)]}$。其适用条件和结果如下表所示：
| 条件 | 结果 |
| — | — |
| $w ≤ \min_{i,j} b_i/A_{i,j}$ | 能在 $O(mε^{-2}ρ \ln m)$ 次迭代内找到问题 (2) 的 $(1 - ε)/r$ 近似解，整数性为 $wδ/(1 + \log_{1 + δ} m)$，其中 $ρ = \max_{i,j} b_i/A_{i,j}$ |
| $b_i/A_{i,j} ≥ (1 + \log_{1 + δ} m)/δ$ | 能在 $O(mε^{-2}ρ \ln m)$ 次迭代内找到整数打包问题的 $(1 - ε)/r$ 近似解 |
| 所有边容量至少为 $(1 + \log_{1 + δ}(m + K))/δ$ | 能在 $O((m + K)Kε^{-2}c_{max}β \ln(m + K))$ 时间内找到斯坦纳树打包问题 (1) 的 $(1 - ε)/r$ 近似整数解，其中 $r$ 和 $β$ 分别是最小斯坦纳树求解器的近似比和复杂度，$c_{max}$ 是最大边容量 |

4.1.4 多播路由和波长分配算法

多播路由和波长分配问题的整数线性规划模型明确了目标和约束条件。其近似算法的复杂度和适用条件如下：
- 对于分数多播路由和波长分配问题，存在 $(1 - ε)/r$ 近似算法，复杂度为 $O((mL + K)KLε^{-2}β \ln(mL + K))$。
- 对于整数多播路由和波长分配问题，如果所有边容量至少为 $(1 + \log_{1 + δ}(mL + K))/δ$，则存在算法能在 $O((mL + K)LKε^{-2}c_{max}β \ln(mL + K))$ 时间内找到 $(1 - ε)/r$ 近似整数解。

4.2 自私任务调度问题技术细节

4.2.1 集中式算法

集中式算法在自私任务分配模型中具有优势。即使任务长度的值不受限制，该算法也是真实的，并且预期近似比为 $2 - \frac{1}{m + 1}(\frac{5}{3} + \frac{1}{3}m)$。其优势在于适用于任意数量的机器和任意调度长度，具体表现如下表所示：
| 机器数量 $m$ | 集中式算法近似比 | SPT 调度近似比 |
| — | — | — |
| 2 | 小于 1.39 | 1.5 |

4.2.2 协调机制

协调机制针对两台机器的情况进行设计。第一台机器按任务长度递增顺序调度任务，第二台机器以概率 $p > \frac{2}{3}$ 按任务长度递增顺序调度任务，以概率 $(1 - p)$ 按任务长度递减顺序调度任务。其预期近似比为 $\frac{4}{3} + \frac{p}{6}$，优于 SPT 机制的 $\frac{3}{2}$。该机制的真实性与任务长度的取值有关，具体情况如下：
- 当任务长度是大于或等于 $\frac{4 - 3p}{2 - p}$ 的常数的幂时，该协调机制是真实的。
- 当任务长度值不受限制时，该协调机制不是真实的。
- 当 $p < \frac{1}{2}$ 时，即使任务长度是大于 1 的任何整数的幂，该协调机制也不是真实的。

5. 实际应用与挑战

5.1 实际应用场景

5.1.1 通信网络

树打包问题的算法可应用于通信网络中的路由优化，例如在多播路由和波长分配问题中，通过合理分配路由树和波长，提高网络的总利润/吞吐量。自私任务调度问题的机制可用于优化数据中心的任务分配，确保任务的高效执行，同时考虑任务所有者的自私行为。

5.1.2 VLSI 设计

分数打包问题的近似算法可应用于 VLSI 设计中的全局路由问题，提高芯片设计的效率和性能。

5.2 挑战与解决方案

5.2.1 任务长度不确定性

在实际应用中，任务长度可能是不确定的。对于树打包问题，随机舍入法和分数打包近似算法在一定程度上可以应对这种不确定性。对于自私任务调度问题，集中式算法可以处理任意长度的任务，但协调机制在任务长度值不受限制时可能会失去真实性，需要进一步研究改进。

5.2.2 大规模问题

随着网络规模和任务数量的增加，算法的复杂度可能成为瓶颈。需要优化算法的复杂度，例如通过并行计算或分布式算法来提高算法的效率。

5.2.3 真实性保证

在自私任务调度问题中，保证机制的真实性是一个挑战。需要设计更加鲁棒的机制，使其在不同的任务长度和分布下都能保证真实性。

6. 总结与未来展望

6.1 总结

本文研究了通信网络中的树打包问题和自私任务调度问题。在树打包问题中，提出了随机舍入法、分数打包近似算法、整数性算法和多播路由和波长分配算法，解决了最小斯坦纳树问题和多播路由与波长分配问题。在自私任务调度问题中，提出了集中式和分布式设置下的（随机）真实机制，改进了 SPT 机制的（预期）近似保证（无政府代价）。

6.2 未来展望

未来的研究方向包括：
- 开发具有其他属性的分数/整数打包问题的近似算法，以适应更多的实际应用场景。
- 从实际角度出发，开发更现实的通信网络路由问题模型，并设计高效的（近似）解决策略。
- 将分数打包问题的近似算法应用于更多领域，如云计算、物联网等。
- 通过具有挑战性的基准测试来实现近似算法，进一步探索其在计算实践中的能力。

6.3 流程图

graph TD;
    A[实际应用] --> B[通信网络];
    A --> C[VLSI 设计];
    D[挑战] --> E[任务长度不确定性];
    D --> F[大规模问题];
    D --> G[真实性保证];
    B --> H[路由优化];
    C --> I[全局路由];
    E --> J[算法适应性];
    F --> K[复杂度优化];
    G --> L[机制设计改进];
    H --> M[提高网络性能];
    I --> N[提高芯片设计效率];
    J --> O[随机舍入法];
    J --> P[分数打包近似算法];
    K --> Q[并行计算];
    K --> R[分布式算法];
    L --> S[集中式算法改进];
    L --> T[协调机制改进];
    M --> U[未来研究方向];
    N --> U;
    O --> U;
    P --> U;
    Q --> U;
    R --> U;
    S --> U;
    T --> U;
    U --> V[开发新近似算法];
    U --> W[设计现实模型];
    U --> X[拓展应用领域];
    U --> Y[算法实践探索];

6.4 表格总结

方面	内容
实际应用场景	通信网络（路由优化、多播路由和波长分配）、VLSI 设计（全局路由）
挑战	任务长度不确定性、大规模问题、真实性保证
解决方案	随机舍入法、分数打包近似算法、并行计算、分布式算法、集中式算法改进、协调机制改进
未来展望	开发新近似算法、设计现实模型、拓展应用领域、算法实践探索