84、传统与线上分销渠道定价策略及通信网络树打包问题研究

传统与线上分销渠道定价策略及通信网络树打包问题研究

1. 传统与线上分销渠道定价策略

在传统和线上渠道并存的情况下，基于Stackelberg博弈的定价策略是一个重要的研究方向。在Stackelberg博弈设定中，制造商和经销商之间存在价格竞争。制造商作为领导者，决定通过传统渠道（将产品销售给经销商）和线上渠道（直接将产品销售给客户）销售产品的价格；经销商作为追随者，在了解制造商的决策后选择最优价格。

制造商在解决定价模型时，必须考虑其最优定价策略对经销商决策的影响，因为经销商的决策变量是制造商决策变量的函数。以下是相关的利润公式：
- 制造商通过传统渠道的利润：
[
\begin{align }
E\pi_{MD,DR}&=(p_{DR}-p_{MD})\cdot(2000 + 1.1p_{MR}- 1.1p_{DR})- (48.9 - p_{MD})^2-(48.9 - p_{MD}-p_{DR})^2\
\end{align }
]
- 制造商通过线上渠道的利润：
[
\begin{align }
E\pi_{MR,MD,MG}&=(2000 + 1.1p_{DR}- 1.1p_{MR})+ (0.5p_{MD}- 0.55p_{MR}- 997)\times p_{DR}\
&+(1.6 - 0.5p_{MR}- 996)\cdot(2000 + 1.2p_{DR}- 1.2p_{MR})+ (p_{MR}+p_{DR}- 400001 + 10 + 20)\
&-(48.9 - p_{MD})^2-(48.9 - p_{MR})^2
\end{align }
]

通过求解Stackelberg博弈中的模型，得到以下最优定价策略：
|角色|渠道|最优价格|
| ---- | ---- | ---- |
|制造商|传统渠道|$p_{MD}^ \approx111$|
|制造商|线上渠道|$p_{MR}^ \approx124$|
|经销商|销售给客户|$p_{DR}^*\approx131$|

2. 通信网络树打包问题

2.1 问题背景

多播是一种通过通信网络将数据从源传输到多个目的地的有效方法，它在视频会议、流媒体视频和分布式计算等新兴电信应用中具有重要作用。在多播通信中，一个多播会话通过在网络中找到连接多播源和所有多播目的地的Steiner树来建立。

我们面临的Steiner树打包问题是：给定一个用无向图表示的通信网络，图中每条边都有一个关联的容量，以及一组多播请求（每个请求由要连接的顶点子集定义，称为终端）。问题的可行解是一组Steiner树，每棵树跨越一个多播请求，使得穿过同一条边的Steiner树的数量不超过该边的容量。目标是最大化总利润/吞吐量（成功路由的请求的加权和）。

2.2 数学规划表述

设无向图$G = (V, E)$表示输入的通信网络，一组多播请求$S_1, \cdots, S_K \subseteq V$要通过Steiner树进行路由。每条边$e_i \in E$都有一个容量$c_i$，表示相应电缆的带宽。用$T_k$表示跨越$S_k$的所有Steiner树的集合，$k \in {1, \cdots, K}$。为每棵树定义一个指示变量$x_k(T)$：如果$T \in T_k$被选中用于路由$S_k$，则$x_k(T) = 1$；否则$x_k(T) = 0$。每个请求$S_k$都有一个权重$w_k$，用于衡量其在给定多播通信网络中的重要性。

Steiner树打包问题可以表述为以下整数线性规划（ILP）问题：
[
\begin{align }
\max&\sum_{k = 1}^{K}w_k\sum_{T \in T_k}x_k(T)\
\text{s.t.}&\sum_{k = 1}^{K}\sum_{T \in T_k, e_i \in T}x_k(T) \leq c_i, \forall e_i \in E\
&\sum_{T \in T_k}x_k(T) \leq 1, k = 1, \cdots, K\
&x_k(T) \in {0, 1}, \forall T, k = 1, \cdots, K
\end{align }
]
第一个约束条件表示每条边的拥塞被边容量所限制；第二个约束条件表示对于每个请求，最多选择一棵树来实现路由。由于边容量的限制，在可行解中，某些请求可能无法实现。

该问题的特殊情况已被证明是APX - 困难的，并且上述ILP问题可能有指数级数量的变量，因此许多精确算法（如标准内点法）无法用于解决其线性规划（LP）松弛问题。LP松弛问题实际上是一个分数打包问题，但现有的近似算法要么只适用于块问题可以在多项式时间内求解的情况，要么其协调复杂度取决于输入数据，不是输入规模的多项式。

2.3 分数打包问题的近似算法

我们考虑以下分数打包问题：
[
\max{c^T x | Ax \leq b, x \geq 0}
]
其中$A$是一个$m \times n$的正矩阵，$b \in \mathbb{R}^m$和$c \in \mathbb{R}^n$是正向量，并且对于所有的$i$和$j$，有$A_{i,j} \leq b_i$。其对应的对偶程序为：
[
\min{b^T y | A^T y \geq c, y \geq 0}
]

我们开发了一个基于[7]中方法的近似算法，该算法允许块问题只能近似求解，并且其复杂度仍然是输入规模和$\epsilon^{-1}$的严格多项式，优于[17, 25]中的方法。算法流程如下：

δ = 1 - √(1 - ε), u = (1 + δ)((1 + δ)m)^(-1/δ), k = 0, xk = 0, f k = 0, yk_i = u/bi, Dk = um;
while Dk < 1 do {iteration}
    k = k + 1;
    call ABS(yk−1) to find a column index q;
    p = arg mini bi/Ai,q;
    xk_q = xk−1_q + bq/Ap,q;
    f k = f k−1 + cqbp/Ap,q;
    yk_i = yk−1_i[1 + δ(bp/Ap,q)/(bi/Ai,q)];
    Dk = bT yk;
end do

该算法是一个迭代方法，首先维护分数打包问题（2）的一个可行原问题解$x$和一个不可行对偶问题解$y$。在每次迭代中，根据当前的对偶解$y$，调用一次近似块求解器，然后增加原问题解$x$中对应于返回列索引的分量，并将对偶解$y$乘以一个大于1的因子。迭代过程直到对偶目标值大于1（尽管对偶解可能仍然不可行）才停止。

算法停止时，有以下结论：
- 引理1：当算法停止时，$OPT / f^t \leq r\delta / \ln(um)^{-1}$。
- 引理2：缩放后的解$x_S = x^t / \log_{1 + \delta}((1 + \delta) / u)$对于（2）是可行的，并且相应的目标值是$f^t / \log_{1 + \delta}((1 + \delta) / u)$。
- 定理1：当算法停止时，缩放后的解$x_S$是分数打包问题（2）的一个$(1 - \epsilon) / r$近似解。
- 定理2：存在一个$(1 - \epsilon) / r$近似算法，用于分数打包问题（2），该算法执行$O(m\epsilon^{-2} \ln m)$次迭代，每次迭代调用一次$r$近似块求解器，对于任何$\epsilon \in (0, 1]$。

2.4 Steiner树打包问题的近似算法

对于Steiner树打包问题的LP松弛问题，我们可以使用上述分数打包问题的近似算法。通过分析可知，块问题实际上等价于在图中找到跨越请求$S_k$的最小Steiner树问题。因此，我们可以使用一个近似最小Steiner树求解器来获得LP松弛问题的可行解。

定理3表明，存在一个复杂度为$O((m + K)K\epsilon^{-2}\beta \ln(m + K))$的$(1 - \epsilon) / r$近似算法，用于分数Steiner树打包问题，其中$r$和$\beta$分别是作为神谕调用的最小Steiner树求解器的近似比和复杂度。

以下是整个问题解决流程的mermaid流程图：

graph TD;
    A[定义通信网络和多播请求] --> B[建立Steiner树打包问题的ILP模型];
    B --> C[求解ILP的LP松弛问题];
    C --> D[使用分数打包问题近似算法];
    D --> E[调用近似最小Steiner树求解器];
    E --> F[得到LP松弛问题的可行解];
    F --> G[通过缩放得到最终近似解];

综上所述，我们在传统与线上分销渠道定价策略和通信网络树打包问题上都取得了一定的研究成果。在定价策略方面，明确了制造商和经销商的最优定价；在树打包问题方面，开发了有效的近似算法来解决复杂的优化问题。未来可以进一步研究不同场景下的定价策略比较，以及对树打包问题的算法进行优化和扩展。

2.5 直接寻找整数近似解的方法

在前面我们得到了分数Steiner树打包问题的近似解，接下来探讨直接寻找整数近似解的方法。虽然前面的算法得到的解可能是分数形式，但在实际应用中，我们通常需要整数解，即每棵树要么被选中（$x_k(T)=1$），要么不被选中（$x_k(T)=0$）。

一种可行的方法是基于已得到的分数解进行舍入操作。例如，对于分数解中接近1的值，我们可以将其舍入为1，表示选择对应的树；对于接近0的值，将其舍入为0，表示不选择该树。然而，简单的舍入操作可能会导致违反容量约束的情况出现。

为了避免这种情况，我们可以采用一种更智能的舍入策略。具体步骤如下：
1. 对分数解中的每个变量$x_k(T)$进行排序，按照其值从大到小排列。
2. 依次检查排序后的变量，尝试将值较大的变量舍入为1，同时检查是否会违反容量约束。如果不违反，则将其确定为1；如果违反，则将其舍入为0。
3. 重复步骤2，直到所有变量都被处理完毕。

通过这种方式，我们可以在一定程度上保证得到的整数解既满足容量约束，又尽可能接近分数解的目标值。

2.6 光网络中的多播路由和波长分配问题

我们将前面的研究结果扩展到光网络中的一个重要问题——多播路由和波长分配问题。在光网络中，除了要找到跨越给定顶点子集的Steiner树外，每棵Steiner树还需要分配一个给定的有限波长集合中的一个波长，使得穿过同一光纤的树被分配不同的波长。

我们可以在原有的Steiner树打包问题的基础上进行扩展。设$W$为给定的波长集合，对于每棵Steiner树$T$，引入一个新的变量$z_{k}(T,w)$，表示树$T$是否被分配波长$w$，其中$w\in W$。

扩展后的整数线性规划模型如下：
[
\begin{align }
\max&\sum_{k = 1}^{K}w_k\sum_{T \in T_k}\sum_{w\in W}z_{k}(T,w)\
\text{s.t.}&\sum_{k = 1}^{K}\sum_{T \in T_k, e_i \in T}\sum_{w\in W}z_{k}(T,w) \leq c_i, \forall e_i \in E\
&\sum_{T \in T_k}\sum_{w\in W}z_{k}(T,w) \leq 1, k = 1, \cdots, K\
&\sum_{w\in W}z_{k}(T,w) \leq 1, \forall T\in T_k, k = 1, \cdots, K\
&\sum_{T \in T_k: T\text{穿过光纤}f}\sum_{w\in W}z_{k}(T,w)\delta_{w,w’}=0, \forall f, \forall w’\in W\
&z_{k}(T,w) \in {0, 1}, \forall T, k = 1, \cdots, K, \forall w\in W
\end{align }
]
其中，第一个约束条件仍然是边容量约束；第二个约束条件表示每个请求最多选择一棵树；第三个约束条件表示每棵树最多分配一个波长；第四个约束条件表示穿过同一光纤的树分配不同的波长，$\delta_{w,w’}$是一个指示函数，当$w = w’$时为1，否则为0。

对于这个扩展后的问题，我们同样可以采用前面开发的近似算法思想。首先求解其LP松弛问题，然后通过舍入操作得到整数解。在求解LP松弛问题时，块问题会变得更加复杂，但仍然可以通过适当的近似块求解器来处理。

以下是光网络多播路由和波长分配问题的解决流程表格：
|步骤|操作|
| ---- | ---- |
|1|定义光网络、多播请求和波长集合|
|2|建立扩展后的整数线性规划模型|
|3|求解LP松弛问题|
|4|使用分数打包问题近似算法|
|5|调用近似块求解器（考虑波长分配）|
|6|得到LP松弛问题的可行解|
|7|通过舍入操作得到整数近似解|

3. 总结与展望

本文围绕传统与线上分销渠道定价策略以及通信网络树打包问题展开了深入研究。在定价策略方面，基于Stackelberg博弈模型，确定了制造商和经销商的最优定价策略，为实际的市场定价提供了理论依据。在通信网络树打包问题上，我们从问题的背景出发，建立了数学规划模型，并开发了有效的近似算法来解决分数打包问题和整数打包问题。同时，将研究结果扩展到光网络中的多播路由和波长分配问题，为该领域的研究提供了新的思路和方法。

然而，我们的研究仍有一些可以改进和扩展的地方。在定价策略方面，可以进一步比较不同博弈模型下的定价策略，考虑更多的市场因素，如消费者偏好、市场竞争程度等，以更好地指导实际定价决策。在树打包问题方面，可以对算法的复杂度进行进一步优化，探索更高效的近似块求解器，提高算法的性能。此外，还可以研究更多的实际应用场景，将算法应用到更广泛的领域中。

未来的研究可以朝着以下几个方向进行：
1. 开展不同场景下定价策略的对比研究，为企业提供更具针对性的定价建议。
2. 对树打包问题的近似算法进行优化，降低算法复杂度，提高求解效率。
3. 探索更多的通信网络应用场景，将研究成果应用到更复杂的网络环境中。
4. 结合机器学习等新兴技术，对定价策略和树打包问题进行更深入的研究，挖掘更多的潜在价值。

通过不断的研究和改进，我们相信可以在这些领域取得更加丰硕的成果，为实际应用提供更强大的技术支持。