71、利用Voronoi图解决无线传感器网络覆盖问题

利用Voronoi图解决无线传感器网络覆盖问题

1. 引言

近年来，随着无线通信和嵌入式微传感MEMS技术的进步，能够进行传感、存储、处理和通信数据的廉价无线节点变得越来越普遍。这些设备为构建大规模无线传感器网络提供了可能，广泛应用于分布式数据存储、目标跟踪和栖息地监测等领域。

在无线传感器网络的设计中，一个基本问题是覆盖问题，即传感器对感兴趣区域的覆盖程度。通常，传感器被建模为空间中的一个点，其传感区域为以该点为中心的欧几里得球。基于这个简单模型，产生了许多不同的覆盖问题。

• 已有研究问题
  • 文献[10]考虑了寻找网络中的最大突破路径和最大支持路径问题，分别可看作网络中监测程度最低和最高的路径。
  • 文献[9]进一步研究了最大支持路径问题，并考虑了传感器的能耗。
  • 文献[14, 15]出于能耗考虑，研究了寻找传感器子集C，使感兴趣区域S被这些传感器覆盖的问题。
  • 文献[16]将该问题推广，考虑寻找最小基数的传感器子集C，使得由C中传感器形成的通信图连通，且区域S被k覆盖（即S中的每个点都在C中k个不同传感器的传感范围内），并提出了一种算法，得到的子集基数最多比最优值大O(log n)倍。

2. 研究的覆盖问题

本文主要考虑以下两个覆盖问题：
- 问题（i） ：给定一组带有传感区域的传感器C和感兴趣区域S，确定S中的每个点是否被C中的传感器k覆盖（k ≥ 1为给定常数）。
- 问题（ii） ：给定一组带有传感区域的传感器C和感兴趣区域S，确定使S被传感器k覆盖的最大k值。

这两个问题出于鲁棒性和协议要求的考虑。例如，基于三角测量的定位协议需要至少三个传感器来定位一个物体，因此希望S中的每个点至少被3覆盖。

对于问题（i），Huang等人[5, 6]提出了一个O(nm log m)（二维情况）或O(nm² log m)（三维情况）的算法来确定给定n个传感器是否k覆盖一个区域，其中m是一个特定传感器的传感区域能与之相交的最大传感区域数量。由于m可能达到Θ(n)，他们的算法在最坏情况下的运行时间分别为O(n² log n)（二维情况）和O(n³ log n)（三维情况），且运行时间与k无关。因此，自然会问是否存在一种算法可以利用运行时间和参数k之间的权衡。

对于问题（ii），一种简单的方法是运行上述算法k(≤n)次，导致在二维（三维）情况下最坏运行时间为O(n³ log n)（O(n⁴ log n)）。但据我们所知，传感器网络社区尚未直接解决这个问题。

3. 研究贡献

本文提出使用Voronoi图的适当推广来统一处理上述覆盖问题。这为解决这些问题提供了一个严格的数学框架，并使我们能够设计出比以前的工作具有更优最坏情况运行时间的算法。具体如下：
- 二维相同传感范围情况 ：如果传感器具有相同的传感范围，问题（i）可以通过计算所谓的k阶Voronoi图在O(n log n + nk²)时间内解决。该算法与传感器的配置无关，仅取决于传感器数量n和参数k。对于k = o(√n log n)，该算法的运行时间比文献[5]中提出的算法更优。
- 二维不同传感范围情况 ：能够得到一个O(n log n)的算法来确定区域S ⊂ R²是否被1覆盖。
- 非球形传感区域情况 ：还可以研究传感区域不是球的覆盖问题，给出了传感区域为椭圆或Lp球（p ≥ 1）时确定区域S ⊂ R²是否被1覆盖的高效算法，这些算法比文献[5]中技术的直接应用更快。
- 问题（ii） ：通过利用功率图和排列之间的已知关系，在二维（三维）情况下得到一个O(n³)（O(n⁴)）的算法，比直接应用文献[5, 6]中的算法更快。

4. 问题描述

为了简化讨论，假设感兴趣区域S是立方体{x ∈ Rd : ∥x∥∞ ≤ 1}。设ai ∈ Rd为第i个传感器的位置，Bi ≡ B(ai, ri) = {x ∈ Rd : ∥x - ai∥² ≤ r²i}为传感器i的传感区域（1 ≤ i ≤ n）。主要关注d = 2和3的情况。

对于任何给定的整数k ≥ 1，如果存在1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n，使得x ∈ ∩kj=1Bij，则称x ∈ S被k覆盖。我们希望高效地回答以下查询：
- 查询1（k - 覆盖；k - Cov） ：S中的每个点是否被球B1, . . . , Bn k覆盖？
- 查询2（最大k - 覆盖；Max - k - Cov） ：确定使S中的每个点被球B1, . . . , Bn k覆盖的最大k值。

5. 解决方案

为了得到解决上述问题的高效算法，我们尝试在S中找到一个有限且小的点集，通过检查这些点来回答查询。这依赖于“功率”的概念。

给定球B(a, r)，点x ∈ Rd相对于B(a, r)的功率定义为pow(x, B(a, r)) = ∥x - a∥² - r²，满足：
- pow(x, B(a, r)) < 0，如果x ∈ int(B(a, r))
- pow(x, B(a, r)) = 0，如果x ∈ ∂B(a, r)
- pow(x, B(a, r)) > 0，如果x ∈ Rd \ B(a, r)

“功率”的概念使我们能够统一处理上述问题。

5.1 二维相同圆盘的k - Cov问题

考虑二维情况下，所有传感器的传感范围相同（ri ≡ r，i = 1, 2, . . . , n）的k - Cov问题。

设B1 ≡ B(a1, r), . . . , Bn ≡ B(an, r)为给定的球，C = {a1, . . . , an}为中心集。对于任何子集U ⊂ {1, 2, . . . , n}，|U| = k，定义：
cell(U) = {x ∈ R² : pow(x, Bu) < pow(x, Bv) ∀u ∈ U, v ∈ {1, 2, . . . , n} \ U}
= {x ∈ R² : ∥x - au∥² < ∥x - av∥² ∀u ∈ U, v ∈ {1, 2, . . . , n} \ U}

cell(U)是U的Voronoi区域，直观上是R²中比C \ U中的任何点更接近U中所有点的点集。所有基数为k的子集的Voronoi区域诱导出R²的一个细分，称为C的k阶Voronoi图，记为Vk(C)，且这种细分是多面体的。

对于x ∈ cell(U) ∩ S，x被k覆盖当且仅当pow(x, Bu) < 0对所有u ∈ U成立。这提示了以下算法来确定S是否被k覆盖：

Algorithm 1 Testing k–Coverage by Identical Disks in R2
Given: A set of n disks B1 ≡ B(a1, r), . . . , Bn ≡ B(an, r) in R2, and an integer k ≥ 1.
1: Compute the k–th order Voronoi diagram Vk(C) for the set of points C = {a1, . . . , an}.
2: for each vertex v of Vk(C) that lies within S do
3:     Let {ai1(v), . . . , aik(v)} be the k closest neighbors of v in C.
4:     if ∃j such that pow(v, aij(v)) > 0 then
5:         Return No
6:     end if
7: end for
8: for each side l of the square S do
9:     Let {pj}M j=1 be the union of the two endpoints of l and the intersections between l and Vk(C).
10:    for each j = 1, 2, . . . , M do
11:        Let ai1(pj), . . . , aik(pj) be the k closest neighbors of pj in C.
12:        if ∃t such that pow(pj, ait(pj)) > 0 then
13:            Return No
14:        end if
15:    end for
16: end for
17: Return Yes

以下是该算法的相关定理：
- 定理1 ：算法1能正确回答查询。
- 证明思路 ：对于S中的每个点x，设a(x)是其在C中的第k个最近邻。如果x未被k覆盖，则pow(x, a(x)) > 0。设ˆx ∈ S使pow(ˆx, a(ˆx))最大化。分两种情况讨论：
- ˆx ∈ int(S) ：若ˆx不是Vk(C)的顶点，会导致矛盾。
- 若ˆx ∈ cell(U)（|U| = k），可找到一个点x′使pow(x′, a(ˆx)) > pow(ˆx, a(ˆx))，与ˆx是最大化点矛盾。
- 若ˆx位于Vk(C)中一条边的内部，也可找到一个点x′使pow(x′, a(ˆx)) > pow(ˆx, a(ˆx))，产生矛盾。
- ˆx ∈ bd(S) ：同样可找到矛盾。
- 定理2 ：算法1的运行时间为O(n log n + nk²)。
- 证明思路 ：使用文献[1]中的算法，n点集C的k阶Voronoi图Vk(C)可以在O(n log n + nk²)时间内计算。文献[8]表明，Vk(C)中的顶点、边和单元总数受O(k(n - k))限制，因此其余步骤可以在O(k²(n - k))时间内完成。

该算法具有以下特点：
- 将覆盖问题转化为优化问题，通过检查一组关键点来回答覆盖查询。
- 若区域S是边数固定的凸多边形，同样的分析也适用。
- k阶Voronoi图仅取决于中心a1, . . . , an的位置，而与共同的传感范围r无关。因此，每次更改r值时，无需重新计算Vk(C)，只需检查算法中描述的关键点，这仅需O(nk²)时间，为确定使S被k覆盖的最小r值提供了二分搜索的可能性。

5.2 不同传感区域的1 - Cov问题

在大多数先前的工作中，传感器的传感区域被建模为欧几里得球。本节展示如何将我们的技术扩展到解决具有各种传感区域的1 - Cov问题。

非均匀圆盘覆盖 ：给定一组球B1 ≡ B(a1, r1), . . . , Bn ≡ B(an, rn)，要确定S是否被这些球覆盖。首先计算集合B = {B1, . . . , Bn}的功率图，其单元形式为：
cell(i) = {x ∈ R² : pow(x, Bi) < pow(x, Bj) ∀j ≠ i}
其中pow(x, Bi) = ∥x - ai∥² - r²i。显然，点x ∈ S未被覆盖当且仅当min1≤i≤n pow(x, Bi) > 0。因此，S未被覆盖当且仅当优化问题：

maximize min1≤i≤n pow(x, Bi)
subject to x²j ≤ 1, j = 1, 2

的最优值为正。

使用定理1的证明中的论点，可以证明该优化问题的候选最大值恰好是之前定义的关键点，即功率图P(B)的顶点、S的边与P(B)的交点以及S的角点。由于集合B的功率图P(B)可以在O(n log n)时间内计算，且P(B)中的顶点、边和单元总数受O(n)限制，得到以下定理：
- 定理3 ：二维中的1 - Cov问题可以在O(n log n)时间内解决。

在三维情况下，同样可以证明只需检查功率图P(B)中位于S内的顶点、S的边与P(B)的交点形成的0 - 平面以及S的角点是否被覆盖。由于三维中的功率图P(B)可以在O(n²)时间内计算，且P(B)中的特征总数受O(n²)限制，得到：
- 定理4 ：三维中的1 - Cov问题可以在O(n²)时间内解决。

椭圆覆盖 ：给定一组椭圆E1, . . . , En，其中Ei由(x - ai)T Qi(x - ai) ≤ r²i定义（Qi为对称正定矩阵）。定义pow(x, Ei) = (x - ai)T Qi(x - ai) - r²i。为了回答查询，首先计算集合{E1, . . . , En}的“功率图”。尽管这个“功率图”不再是多面体，但可以证明最优值必须出现在之前定义的关键点上。

椭圆的“功率图”复杂度为Θ(n² + ϵ)（对于任何ϵ > 0），并且可以在O(n² + ϵ)时间内计算，得到以下定理：
- 定理5 ：具有椭圆传感区域的二维1 - Cov问题可以在O(n² + ϵ)时间内解决（对于任何ϵ > 0）。

Lp - 球覆盖 ：设p ≥ 1和r > 0固定，给定一组Lp - 球B1, . . . , Bn，其中Bi由∥x - ai∥p p ≤ rp定义（所有Bi具有相同半径）。定义pow(x, Bi) = ∥x - ai∥p p - rp，通过计算点集{a1, . . . , an}的Lp - Voronoi图并检查相应关键点的目标值来确定优化问题的最优值和最优解。得到以下定理：
- 定理6 ：具有相同Lp传感区域的二维1 - Cov问题可以在O(n log n)时间内解决。

综上所述，本文通过使用Voronoi图的推广，为无线传感器网络中的覆盖问题提供了高效的解决方案，在不同情况下都取得了比以往算法更优的运行时间。

利用Voronoi图解决无线传感器网络覆盖问题

6. 算法总结与对比

为了更清晰地展示本文所提出算法与之前算法的性能差异，下面通过表格形式进行总结对比：
| 问题类型 | 维度 | 传感区域情况 | 之前算法运行时间 | 本文算法运行时间 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| k - Cov问题 | 2 - D | 相同圆盘 | O(n² log n) | O(n log n + nk²) |
| k - Cov问题 | 3 - D | 相同圆盘 | O(n³ log n) | 未提及（主要关注二维情况） |
| 1 - Cov问题 | 2 - D | 非均匀圆盘 | 未提及高效算法 | O(n log n) |
| 1 - Cov问题 | 3 - D | 非均匀圆盘 | 未提及高效算法 | O(n²) |
| 1 - Cov问题 | 2 - D | 椭圆 | 未提及高效算法 | O(n² + ϵ)（ϵ > 0） |
| 1 - Cov问题 | 2 - D | Lp - 球 | 未提及高效算法 | O(n log n) |
| Max - k - Cov问题 | 2 - D | - | O(n³ log n) | O(n³) |
| Max - k - Cov问题 | 3 - D | - | O(n⁴ log n) | O(n⁴) |

从表格中可以明显看出，本文提出的算法在不同的覆盖问题和不同维度下，大多具有更优的最坏情况运行时间，尤其是在处理不同传感区域的1 - Cov问题和Max - k - Cov问题时，优势更为突出。

7. 算法流程可视化

为了更好地理解算法的执行过程，下面通过mermaid流程图展示二维相同圆盘的k - Cov问题的算法流程：

graph TD;
    A[开始] --> B[计算k阶Voronoi图Vk(C)];
    B --> C[遍历Vk(C)在S内的顶点v];
    C --> D{是否存在j使pow(v, aij(v)) > 0};
    D -- 是 --> E[返回No];
    D -- 否 --> F[遍历正方形S的每条边l];
    F --> G[获取l的端点和l与Vk(C)的交点pj];
    G --> H[遍历每个pj];
    H --> I{是否存在t使pow(pj, ait(pj)) > 0};
    I -- 是 --> E;
    I -- 否 --> J[返回Yes];

这个流程图清晰地展示了算法从计算k阶Voronoi图开始，依次检查顶点和边的交点，根据关键点的功率值判断区域S是否被k覆盖的过程。

8. 应用场景与实际意义

无线传感器网络的覆盖问题在实际应用中具有重要意义，本文提出的算法可以应用于多个领域：
- 环境监测 ：在森林、海洋等大面积区域进行环境参数监测时，传感器的合理覆盖能够确保准确收集环境数据。通过本文算法可以高效地判断传感器布局是否满足覆盖要求，及时调整传感器位置，提高监测的准确性和可靠性。
- 智能交通 ：在城市交通系统中，部署传感器用于监测车辆流量、道路状况等信息。利用本文算法可以优化传感器的布局，确保交通关键区域得到充分覆盖，为交通管理和智能决策提供有力支持。
- 工业自动化 ：在工厂车间中，传感器用于监测设备运行状态、生产流程等。通过解决覆盖问题，可以保证设备的实时监测和故障预警，提高生产效率和安全性。

9. 未来研究方向

虽然本文提出的算法在解决无线传感器网络覆盖问题上取得了较好的效果，但仍有一些方面值得进一步研究：
- 动态传感器网络 ：在实际应用中，传感器网络可能是动态变化的，例如传感器的位置会移动、新的传感器会加入等。如何将本文的算法扩展到动态传感器网络中，是一个有待解决的问题。
- 多目标优化 ：除了覆盖问题，传感器网络还需要考虑能耗、通信成本等多个目标。未来可以研究如何在解决覆盖问题的同时，实现多目标的优化，提高传感器网络的综合性能。
- 大规模传感器网络 ：随着传感器数量的不断增加，算法的可扩展性成为一个挑战。需要研究适用于大规模传感器网络的高效算法，以应对实际应用中的需求。

总之，无线传感器网络的覆盖问题是一个具有重要理论和实际意义的研究领域，本文的工作为该领域的发展提供了新的思路和方法，未来的研究将进一步推动该领域的发展。