3、传感器覆盖问题的研究与解决方案

传感器覆盖问题的研究与解决方案

1. 动机与概述

我们来研究最小传感器覆盖问题，这是一个NP难问题。它存在很多关于近似解的有趣问题。
首先考虑一个实例，包含一组目标点 $A$ 和一组传感器 $S$，它们都位于欧几里得平面上。对于每个 $s \in S$，用 $A(s)$ 表示位于传感器 $s$ 感知区域内的目标点子集。那么最小传感器覆盖问题可以看作是以下集合覆盖问题的一个特殊情况。

最小集合覆盖问题 ：给定一个有限集合 $X$ 的子集集合 $C$，满足 $\cup_{A \in C}A = X$，找到一个子集集合 $C’ \subseteq C$，使其基数最小且 $\cup_{A \in C’}A = X$。

关于最小集合覆盖问题的近似解，有以下重要结果：
- 定理1 ：最小集合覆盖问题有一个多项式时间的 $H(n)$ - 近似算法，其中 $n = |X|$，$H(n) = \sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{i} < 1 + \ln n$ 被称为调和函数。
- 定理2 ：对于任何 $0 < \rho < 1$，除非 $NP = P$，否则最小集合覆盖问题不存在多项式时间的 $(\rho \ln n)$ - 近似算法。

显然，最小集合覆盖的近似算法也适用于最小传感器覆盖问题。所以，最小传感器覆盖有一个多项式时间的 $(1 + \ln n)$ - 近似算法。不过，最小传感器覆盖问题具有几何背景，也被称为几何集合覆盖问题，因此有更好的近似算法。

对于单位圆盘（即同质无线传