80、最小面积同伦与全动态聚类及多样性最大化

最小面积同伦与全动态聚类及多样性最大化

1. 最小面积同伦相关内容

1.1 电缆系统处理与引理

在曲线相关研究中，电缆系统的良好定义需要满足电缆系统被管理、所有电缆为最短路径且电缆顺序固定的条件。为解决相关问题，首先将电缆系统重新路由为一个被管理且满足最短路径假设的新电缆系统，然后合并每个面上的所有电缆。虽然这些操作会改变曲线的特定单词，但曲线的消去范数和正可折叠性不会改变。

以下是相关引理：
- 引理 3（电缆独立性） ：设 γ 为具有两个电缆系统 Π 和 Π′ 的任意曲线，使得 Π 中终止于任何固定面的电缆权重总和等于 Π′ 中的权重总和。那么 γ 的任何折叠 F 都可以转换为 γ 的另一个折叠 F′，且两个折叠的面积相同。由此推论， γ 的最小折叠面积（消去范数）和 γ 正折叠的存在性与 Π 的选择无关。
- 引理 4（折叠到同伦） ：设 γ 为曲线，Π 为满足最短路径假设的被管理电缆系统，F 为 γ 的折叠。则存在 γ 的零同伦，其面积等于 F 的面积。

1.2 从自重叠分解计算最小面积同伦

自重叠分解是一种顶点分解，其中每个子曲线都是自重叠的。根据定理 1，存在一个自重叠分解和一个相关的同伦，其面积等于原始曲线的最小同伦面积。

为了关联顶点分解和面对分解，定义了一个包含面和顶点的组合单词。给定任何曲线 γ 和电缆系统 Π，遍历 γ 并记录自交叉和（带符号的）电缆交点，得到的顶点和面的序列称为组合单词 [γ] 。

以下是相关定理和推论：
- 定理 3（自重叠分解到折叠） ：给定曲线 γ 的自重叠分解 Γ 和电缆系统 Π，存在 γ 的折叠 F，其面积为 AreaΓ(γ)。
- 推论 1（几何正确性） ：动态规划算法可以计算任何曲线 γ 的最小面积同伦。证明过程为：根据定理 1，存在具有最小同伦面积的自重叠分解；根据定理 3，存在实现最小面积的折叠；利用引理 4，最小面积折叠产生最小面积同伦。

1.3 多项式时间内的最小面积自重叠分解

任何最大折叠（添加任何额外对都会关联）都可用于构造自重叠分解。

• 定理 4（折叠到自重叠分解） ：设 γ 为曲线，Π 为电缆系统。给定 γ 的最大折叠 F，存在 γ 的自重叠分解，其面积等于折叠 F 诱导的面积。证明步骤如下：
  1. 从组合单词 [γ] 开始，在自重叠分解给出的顶点处分解 [γ] 。设 Γ = {γ1, γ2, …, γs} 为自重叠子曲线， [γ] i 为 [γ] 的相应子单词。
  2. 如果移除顶点符号并将每个 [γ] i 转换为面单词 [γi]′，该单词可能不对应子曲线的特定单词。因为将 γ 分解为子曲线时，子曲线和相关电缆可能每个面包含多条电缆，且电缆可能未被管理或不遵循最短路径。
  3. 选择一个新的被管理电缆系统 Π∗，其中电缆遵循最短路径且每个面有一条电缆，引理 3 确保子曲线的消去范数和正可折叠性保持不变。将 γi 关于 Π∗ 的新面单词记为 [γi] = γi 。
  4. 由于每个 γi 是 Γ 中的自重叠子曲线，根据定理 2 可找到 [γi] 的正折叠 Fi，γi 的最小同伦面积等于折叠 Fi 的面积。引理 3 意味着原始组合单词中的子单词 [γi]′ 也有一个正折叠 F′i，其面积等于 γi 的最小同伦面积。
  5. 通过组合每个面子单词 [γi]′ 的所有折叠 F′i，创建 γ 的折叠 F，折叠 F 的面积等于折叠 F′i 的面积之和，即自重叠分解的同伦面积 AreaΓ(γ)。
• 推论 2（多项式最优自重叠分解） ：设 γ 为曲线。可以在多项式时间内找到 γ 的自重叠分解，其面积等于 γ 的最小同伦面积。证明过程为：应用动态规划算法计算 γ 关于某个电缆系统 Π 的最小面积折叠 F，根据定理 3，F 的面积等于 γ 的最小同伦面积，根据定理 4，对应的自重叠分解也具有相同的面积。

2. 全动态聚类和多样性最大化相关内容

2.1 问题介绍与背景

聚类是无监督学习和数据挖掘中的基本操作，用于根据相似性度量对一组点进行分区。常见的 k - 中心问题是在给定度量空间中的一组点和参数 k 的情况下，选择 k 个点作为聚类中心，使任何点到其最近中心的最大距离最小。由于找到最优解是 NP 难问题，实际中通常采用近似解。

k - 中心问题有几个重要变体：
- k - 中心带 z 个离群点 ：目标函数忽略离中心最远的 z 个点。
- 拟阵中心问题 ：给定一组点和定义在其上的拟阵，目标是找到形成拟阵独立集的中心集，使任何点到最近中心的最大距离最小。拟阵可用于对解施加各种约束，如公平性约束。该问题也有带 z 个离群点的鲁棒形式。
- 多样性最大化问题 ：目标与 k - 中心问题有些对偶，要选择 k 个点，使它们之间的某种多样性度量最大化。该问题也有受拟阵约束的变体。

在实际场景中，输入数据通常是动态变化的，因此开发能够在插入和删除任意点的情况下保持良好解的算法非常重要。

2.2 相关工作

在离线设置中：
- k - 中心问题可以在多项式时间内以 2 倍近似，除非 P = NP，否则不存在多项式时间的 (2 - ϵ) 近似算法。
- k - 中心带 z 个离群点问题有一个简单的组合 3 倍近似算法，也有更复杂的基于线性规划的 2 倍近似算法，但在加权情况下的适用性不明确。
- 拟阵中心问题的标准形式有 3 倍近似算法，鲁棒形式最初有 7 倍近似算法，后改进为 3 倍近似。
- 多样性最大化问题的各种变体都是 NP 难问题，但都有多项式时间的 O(1) 近似算法。

在全动态设置中：
- 已有一些针对 k - 中心问题的全动态算法，但这些算法大多是随机化的，且数据结构需要静态配置以处理固定的 k 和 ϵ 值，回答不同聚类粒度和/或精度的查询可能需要从头构建数据结构，并且数据结构的大小通常是点集大小的超线性。
- 对于 k - 中心带 z 个离群点问题，有一个随机化的全动态算法，返回双准则 (14 + ϵ) 近似解，但需要固定 k、z 和 ϵ 值，且数据结构大小为超线性。
- 还有一些针对有界倍增维度度量空间的 k - 中心全动态算法，但数据结构也是为特定的 ϵ 值构建的，改变精度需要从头重建，且空间复杂度为超线性。

2.3 研究贡献

提出了全动态设置下的近似算法，所有算法都是确定性的，依赖于一个核心数据结构来维护解决问题所需的信息。在需要解决任何问题的解时，从数据结构中提取一个小的代表点集（称为核心集），并在该核心集上运行顺序算法来计算解，这样可以实现快速执行时间，且与树中当前存储的点数无关。具体贡献如下：
1. 定义增强覆盖树数据结构 ：通过多种方式扩展和改进了原有的覆盖树。
- 在每个节点存储关于其子树中存储的点集的更丰富信息，如点集的基数，对于拟阵中心问题，还存储由该子集诱导的子拟阵的最大独立集。
- 设计迭代算法来处理插入和删除操作，同时维护上述丰富信息，与原有的递归算法相比，具有更简单的正确性证明和实现。
- 对更新操作的复杂度分析以倍增维度 D 和纵横比 Δ 为参数，修正了原分析中的一些缺陷。
2. 设计全动态 (2 + ϵ) 近似 k - 中心算法 ：与以往工作不同，数据结构允许查询任意 k 和 ϵ 值的解。与其他算法相比，数据结构大小更小（线性），插入和删除操作的渐近成本更低，计算解的时间仅与 k 呈线性关系。
3. 设计全动态 (3 + ϵ) 近似 k - 中心带 z 个离群点算法 ：允许在查询时选择 k、ϵ 和 z。之前唯一适用于一般度量的算法只能返回 (14 + ϵ) 双准则解，且需要预先固定 k、z 和 ϵ。
4. 提出首个全动态拟阵中心算法 ：该算法返回 (3 + ϵ) 近似解。
5. 提出首个全动态多样性最大化算法 ：算法返回 (αdiv + ϵ) 近似解，其中 αdiv 是最佳顺序近似因子。

这些算法的一个重要特点是对倍增维度 D 不敏感，即 D 的值仅影响分析，算法本身不需要知道该值。此外，算法是完全确定性的，而之前的大多数算法使用了随机化。

2.4 问题定义与基本事实

2.4.1 (鲁棒) k - 中心问题

考虑度量空间 (U, dist) 和点集 S ⊆ U。对于任何 p ∈ U 和子集 C ⊆ S，定义 dist(p, C) = minq∈C dist(p, q)，C 相对于 S 的半径为 rC(S) = maxp∈S dist(p, C)。

k - 中心问题要求找到大小至多为 k 的子集 C ⊆ S，使 rC(S) 最小，解 C 中的点称为中心。最优解的半径记为 r∗k(S)，Gonzalez 提出的贪心算法可以在 O(nk) 时间内返回 k - 中心问题的 2 倍近似解。

核心集的定义如下：给定一个点集 S 和值 ϵ > 0，子集 T ⊆ S 是 S 关于 k - 中心问题的 (ϵ, k) - 核心集，如果 rT(S) ≤ ϵr∗k(S)。

k - 中心带 z 个离群点问题（(k, z) - 中心问题）要求找到大小为 k 的子集 C ⊆ S，使 rC(S - ZC) 最小，其中 ZC 是 S 中离 C 最远的 z 个点的集合。该问题的最优解半径记为 r∗k,z(S)，当 z = 0 时，该问题退化为 k - 中心问题，且有 r∗k + z(S) ≤ r∗k,z(S)。已有一个顺序的 3 倍近似算法，运行时间为 O(n2 log n)。本文还会考虑加权 (k, z) - 中心问题，其中每个点 p ∈ S 带有正整数权重 w(p)，目标是找到 k 个中心 C，使 rC(S - ZC) 最小，其中 ZC 是离 C 最远的点的集合，其最大基数和总权重至多为 z。

2.4.2 拟阵中心问题

拟阵是一个点集 S 上的对 M = (S, I)，其中 I 是 S 的子集族，称为独立集，满足以下性质：
- 空集是独立集。
- 独立集的任何子集都是独立集（遗传性）。
- 如果 A, B ∈ I 且 |A| > |B|，则存在 x ∈ A \ B，使得 B ∪ {x} ∈ I（增广性）。

拟阵中心问题要求在拟阵 M 中找到一个独立集 C，使 rC(S) 最小，最优解的半径记为 r∗(M)。由于拟阵的增广性，所有最大独立集的大小相同，称为拟阵的秩，记为 rank(M)，且有 r∗rank(M)(S) ≤ r∗(M)。

拟阵的任何子集 S′ ⊆ S 都会诱导一个子拟阵 M′ = (S′, I′)，其中 I′ 是 I 限制在 S′ 的子集上的部分。根据相关引理，如果 S1, …, Sh 是 S 的一个划分，A1 ⊆ S1, …, Ah ⊆ Sh 是相应子拟阵的最大独立集，则 ∪hI = 1Ai 包含 M 的一个最大独立集。

假设存在一个常数时间的神谕来检查 S 的任何子集的独立性。一般度量下的拟阵中心问题有一个组合 3 倍近似算法，运行时间是 |S| 和 rank(M) 的多项式。一个重要的拟阵实例是划分拟阵 MP = (S, IP)，其中 S 中的每个点与 m ≤ k 个类别之一相关联，IP 由每个类别中至多 ki 个点的所有子集组成，且 mi = 0 ki = k，可用于建模公平性约束。

2.4.3 多样性最大化问题

设 div : 2S → R 是一个多样性函数，将 S 的任何子集 X 映射到一个非负实数。对于特定的多样性函数 div 和正整数 k ≤ n，多样性最大化问题的目标是找到大小为 k 的子集 C ⊆ S，使 div(C) 最大，最优目标值记为 div∗k(S)。

本文考虑的几种多样性函数及其最佳已知多项式时间近似比如下表所示：
| 名称 | 多样性度量 div(X) | 顺序近似比 αdiv |
| — | — | — |
| remote - edge | minp,q∈X d(p, q) | 2 |
| remote - clique | p,q∈X d(p, q) | 2 |
| remote - star | minc∈X q∈X{c} d(c, q) | 2 |
| remote - bipartition | minQ⊂X,|Q|=⌊|X|/2⌋ q∈Q,z∈X\Qd(q, z) | 3 |
| remote - tree | w(MST(X)) | 4 |
| remote - cycle | w(TSP(X)) | 3 |

其中 w(MST(X)) 表示由 X 中的点及其成对距离诱导的完全图的最小生成树的最小权重，w(TSP(X)) 表示哈密顿回路的最小权重。

2.4.4 倍增维度

对于一般度量空间 (U, dist)，数据的维度可以通过倍增维度来衡量。倍增维度的具体定义和相关性质在后续分析中会起到重要作用，它与算法的性能密切相关。

综上所述，本文在最小面积同伦和全动态聚类及多样性最大化两个领域都取得了重要的研究成果，为相关问题的解决提供了新的思路和方法。在最小面积同伦方面，通过自重叠分解和折叠等概念，实现了多项式时间内的最小面积自重叠分解计算；在全动态聚类和多样性最大化方面，提出了一系列确定性的近似算法，解决了多个问题在动态环境下的求解难题，且在算法性能和数据结构设计上具有明显优势。

2.5 增强覆盖树数据结构

增强覆盖树是整个算法体系的核心数据结构，它在原覆盖树的基础上进行了多方面的改进和扩展，以适应动态数据处理的需求。

2.5.1 节点信息存储

增强覆盖树的每个节点会存储关于其子树中存储的点集的丰富信息。具体如下：
- 点集基数 ：记录子树中包含的点的数量，这有助于快速了解子树的规模。
- 拟阵相关信息 ：对于拟阵中心问题，节点会存储由该子集诱导的子拟阵的最大独立集。这一信息对于在动态变化过程中维护拟阵的独立性约束至关重要。

2.5.2 插入和删除操作处理

为了高效地处理点的插入和删除操作，设计了迭代算法。与原有的递归算法相比，迭代算法具有以下优势：
- 简单的正确性证明 ：迭代算法的逻辑更加直观，使得证明其正确性变得更加容易。
- 易于实现 ：在实际编程实现中，迭代算法的代码结构更加清晰，减少了出错的可能性。

2.5.3 复杂度分析

更新操作（插入和删除）的复杂度分析以倍增维度 (D) 和纵横比 (\Delta) 为参数。通过这种方式，修正了原分析中的一些缺陷，能够更准确地评估算法在不同数据特征下的性能。

2.6 全动态算法实现

2.6.1 (2 + ϵ) 近似 k - 中心算法

该算法利用增强覆盖树数据结构，实现了全动态的 (2 + ϵ) 近似 k - 中心问题求解。具体步骤如下：
1. 核心集提取 ：根据当前的点集和所需的精度 (\epsilon)，从增强覆盖树中提取一个小的核心集 (T)，该核心集是 (ϵ, k) - 核心集，能够较好地代表原始点集。
2. 顺序算法求解 ：在核心集 (T) 上运行顺序算法，计算出大小至多为 (k) 的子集 (C)，使得 (r_C(T)) 最小。
3. 结果返回 ：将子集 (C) 作为近似解返回，其满足 (r_C(S) \leq (2 + \epsilon)r^*_k(S))。

与以往算法相比，该算法的数据结构允许查询任意 (k) 和 (\epsilon) 值的解，且数据结构大小为线性，插入和删除操作的渐近成本更低，计算解的时间仅与 (k) 呈线性关系。

2.6.2 (3 + ϵ) 近似 k - 中心带 z 个离群点算法

此算法同样基于增强覆盖树，实现了全动态的 (3 + ϵ) 近似 k - 中心带 z 个离群点问题求解。具体步骤如下：
1. 核心集提取 ：从增强覆盖树中提取一个合适的核心集 (T)，该核心集能够在考虑离群点的情况下，较好地代表原始点集。
2. 顺序算法求解 ：在核心集 (T) 上运行顺序算法，找到大小为 (k) 的子集 (C)，使得 (r_C(T - Z_C)) 最小，其中 (Z_C) 是 (T) 中离 (C) 最远的 (z) 个点的集合。
3. 结果返回 ：将子集 (C) 作为近似解返回，其满足 (r_C(S - Z_C) \leq (3 + \epsilon)r^*_{k,z}(S))。

该算法允许在查询时选择 (k)、(\epsilon) 和 (z)，而之前唯一适用于一般度量的算法只能返回 (14 + \epsilon) 双准则解，且需要预先固定 (k)、(z) 和 (\epsilon)。

2.6.3 全动态拟阵中心算法

这是首个全动态的拟阵中心算法，同样依赖增强覆盖树数据结构。具体步骤如下：
1. 核心集提取 ：从增强覆盖树中提取核心集 (T)，并确保核心集上的拟阵信息与原始点集上的拟阵信息保持一致。
2. 独立集计算 ：在核心集 (T) 上计算满足拟阵独立性约束的最大独立集 (A)。
3. 顺序算法求解 ：在最大独立集 (A) 上运行顺序算法，找到一个独立子集 (C)，使得 (r_C(T)) 最小。
4. 结果返回 ：将子集 (C) 作为近似解返回，其满足 (r_C(S) \leq (3 + \epsilon)r^*(M))。

2.6.4 全动态多样性最大化算法

这是首个全动态的多样性最大化算法，同样基于增强覆盖树。具体步骤如下：
1. 核心集提取 ：从增强覆盖树中提取核心集 (T)。
2. 顺序算法求解 ：在核心集 (T) 上运行顺序算法，找到大小为 (k) 的子集 (C)，使得 (div(C)) 最大。
3. 结果返回 ：将子集 (C) 作为近似解返回，其满足 (div(C) \geq (\alpha_{div} + \epsilon)div^* k(S))，其中 (\alpha {div}) 是最佳顺序近似因子。

2.7 算法优势总结

• 对倍增维度不敏感 ：算法对倍增维度 (D) 不敏感，即 (D) 的值仅影响分析，算法本身不需要知道该值。这在实际应用中非常重要，因为在实际场景中，倍增维度的值往往难以准确估计。
• 确定性算法 ：算法是完全确定性的，而之前的大多数算法使用了随机化。确定性算法具有更好的可重复性和稳定性，在实际应用中更容易控制和调试。
• 高效的数据结构 ：增强覆盖树数据结构允许查询任意 (k) 和 (\epsilon) 值的解，且数据结构大小为线性，插入和删除操作的渐近成本更低，计算解的时间仅与 (k) 呈线性关系。

2.8 总结与展望

在最小面积同伦和全动态聚类及多样性最大化领域，本文提出的方法和算法具有显著的优势。在最小面积同伦方面，通过自重叠分解和折叠等概念，实现了多项式时间内的最小面积自重叠分解计算。在全动态聚类和多样性最大化方面，提出了一系列确定性的近似算法，解决了多个问题在动态环境下的求解难题，且在算法性能和数据结构设计上具有明显优势。

未来的研究可以进一步探索以下方向：
- 算法性能优化 ：进一步降低算法的时间复杂度和空间复杂度，提高算法在大规模数据上的处理能力。
- 应用场景拓展 ：将算法应用到更多的实际场景中，如机器学习、数据挖掘、计算机视觉等领域，验证算法的有效性和实用性。
- 理论分析深入 ：深入研究算法的理论性质，如算法的近似比的下界、算法的稳定性分析等，为算法的进一步改进提供理论支持。

以下是相关流程的 mermaid 流程图：

graph LR
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px

    A(开始):::process --> B(提取核心集):::process
    B --> C{k - 中心问题类型}:::process
    C -->|k - 中心| D(顺序算法求解):::process
    C -->|k - 中心带 z 个离群点| E(顺序算法求解):::process
    C -->|拟阵中心| F(计算独立集):::process
    F --> G(顺序算法求解):::process
    C -->|多样性最大化| H(顺序算法求解):::process
    D --> I(返回结果):::process
    E --> I
    G --> I
    H --> I
    I --> J(结束):::process

该流程图展示了全动态算法的整体流程，包括核心集提取、根据不同问题类型进行相应的处理以及最终返回结果。通过这种方式，可以更直观地理解算法的执行过程。