69、量子计算中的树状结构重构与量子比特路由问题研究

量子计算中的树状结构重构与量子比特路由问题研究

时间相关树状结构重构问题

在有向图 $D$ 的研究中，有几个重要的引理和结论。首先是引理 4，设 $r_1$ 和 $r_2$ 是有向图 $D$ 中满足条件 (iii)’ 的不同顶点，那么在图 $G’(D)$ 中存在一条连接 $v_{r_1}$ 和 $v_{r_2}$ 的路径。

其证明过程如下：
设 $H$ 是有向图 $D_t$ 中包含 $r_1$ 和 $r_2$ 的 $t$ - 标记可扩展强连通分量，其中 $t \in R^+$。因为 $H$ 是强连通的，所以它包含一条从 $r_1$ 到 $r_2$ 的有向路径，该路径按顺序经过顶点 $p_0, p_1, \cdots, p_k$，其中 $p_0 = r_1$ 且 $p_k = r_2$。对于 $0 \leq i \leq k - 1$，由于 $H$ 是强连通的，所以 $H$ 有一个包含弧 $(p_i, p_{i + 1})$ 的有向循环 $C_i$。又因为 $H$ 是 $t$ - 标记可扩展且强连通的，所以 $C_i$ 也是 $t$ - 标记可扩展的。根据引理 3 中的条件 (iii) 可知，在 $G’(D)$ 中 $v_{p_i}$ 和 $v_{p_{i + 1}}$ 是相邻的，这就意味着 $G’(D)$ 中包含一条连接 $v_{r_1} = v_{p_0}$ 和 $v_{r_2} = v_{p_k}$ 的路径。

基于这个引理以及 $\hat{G}(D)$ 是 $G’(D)$ 的超图这一事实，我们得到引理 5：对于有向图 $D$ 中任意不同的顶点 $r_1$ 和 $r_2$，$\hat{G}(D)$ 中有一条 $v_{r_1} - v_{r_2}$ 路径当且仅当 $G’