68、时间尊重树形图的重构

时间尊重树形图的重构

在有向图的研究领域中，树形图是一种极为基础的组合对象，它是无向图中生成树的有向类比。本文将从组合重构的视角出发，深入探讨有向图中的时间尊重树形图。

1. 引言

树形图在有向图研究中占据着重要地位。例如，在指定根顶点的有向图中寻找最小成本树形图的问题，已经得到了广泛的研究。同时，Edmonds证明的关于弧不相交树形图的定理，也是图论中的重要成果之一。

受分布式网络通信、流行病学和定时运输网络等多种场景的启发，Kempe、Kleinberg和Kumar引入了时间网络的概念。时间网络由有向图 (D = (V, A)) 和时间标签函数 (\lambda: A \to R^+) 组成，其中 (R^+) 表示非负实数集。对于每条弧 (a \in A)，(\lambda(a)) 指定了该弧两个端点可以通信的时间。在以 (r) 为根的树形图 (T) 中，为了使根 (r) 能够向每个顶点发送信息，从 (r) 到每个顶点 (v) 的有向路径上的弧的时间标签必须是非递减的。满足这一性质的树形图 (T) 被称为时间尊重树形图。

组合重构主要分析组合对象在规定邻接关系下形成的解空间的可达性及相关问题。本文研究的时间尊重树形图重构问题如下：给定有向图 (D) 中的两个时间尊重树形图，判断是否可以通过每次交换当前树形图中的一条弧，将一个树形图转换为另一个树形图，并且所有中间结果仍然是 (D) 中的时间尊重树形图。

2. 相关工作与研究问题

以往对于无时间尊重条件的生成树和树形图的重构问题已有研究。在无时间尊重条件的无向图中，任意两个生成树可以通过每次交换一条边相互转换，因为生成树的集合构成了一个拟阵的基族。在无时间尊重条件的