39、离散Voronoi博弈的改进边界

离散Voronoi博弈的改进边界

1. 引言

在离散Voronoi博弈中，玩家P和玩家Q竞争选民。玩家P放置k个点，玩家Q放置一个点，每个选民会被分配到距离其最近的点所属的玩家。本文将介绍玩家P的新策略，以及在不同度量下的博弈分析和ε - 网的改进构造方法。

2. 玩家P的新策略概述

玩家P的新策略与以往不同，它不基于ε - 网，而是采用基于四叉树的方法。结合其他想法并将ε - 网方法作为子程序，玩家P能保证至少赢得一定数量的选民。在L2度量下，当Q有一个点时，通过四叉树方法能为玩家P带来更好的结果。在L1度量下，对于k > 1且ℓ = 1的情况，也有相关的研究和结论。

3. 凸范围的更好ε - 网

为了得到玩家P在博弈中更好的选民获胜数量边界，需要构造更好的凸范围ε - 网。
- 楔形分配 ：设L是一组三条共点线，它们定义了六个楔形。对于平面上一般位置的点集V，通过楔形分配，将V中的点分配到楔形中，楔形的权重由分配到它的点的数量决定。
- 定理1 ：设V是平面上一般位置的n个点的集合，n ⩾ 8且为偶数。对于任意给定的α, β, γ ∈ N，满足2α + 2β + 2γ = n，能找到一组三条共点线将平面划分为六个楔形，使得存在一种楔形分配，使楔形的权重按逆时针顺序为α, β, γ, α, β, γ。
- 证明思路 ：考虑与正x轴成角度θ的有向线ℓ(θ)，通过改变θ和点z的位置，使相关射线与ℓ(θ)形成三条共点线。
- 观察1 ：设L是